Đáp án C

Đồ thị hàm số đi qua điểm $N(-2;0)$

Ta có: $0={\left(-2\right)}^4-2m{\left(-2\right)}^2+2m-4\iff m=2$

Đáp án B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

$$\begin{gathered} \left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)=m\left(x-4\right) \\ \Rightarrow \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}=m\left(1\right)\left(x\ne 4\right) \end{gathered}$$

Só nghiệm của (1) bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ và y = m

Ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2-9\right)\left(x-4\right)+2x\left(x^2-1\right)\left(x-4\right)-\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}{{\left(x-4\right)}^2} \\ =\frac{3x^4-16x^3-10x^2+80x-9}{{\left(x-4\right)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^4-16x^3-10x^2+80x-9=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình ta được 4 nghiệm: $\left[\begin{array}{c}{x}_1\approx -2,169\\ x_2\approx 0,114\\ x_3\approx 2,45\\ x_4\approx 4,94\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\iff$ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-9\right)}{\left(x-4\right)}$ tại 4 điểm phân biệt $\iff m\in \left(-2,28;2,58\right)$

Mà $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=3{\left(x+m\right)}^2+3{\left(x+n\right)}^2-3x^2 \\ =3\left[x^2+2\left(m+n\right)x+m^2+n^2\right] \end{gathered}$$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff mn\le 0$

TH1: $mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ n=0\end{array}\right.$

Do vai trò của m, n như nhau nên ta chỉ xét trường hợp m = 0

$\Rightarrow P=4n^2-n={\left(2n-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\left(1\right)$

TH2: $mn<0\iff m>0;n<0$ (do vai trò của m, n như nhau)

Ta có: $P={\left(2m-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+4n^2+\left(-n\right)>-\frac{1}{16}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $P_{\min }=-\frac{1}{16}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{8},n=0$ hoặc $m=0,n=\frac{1}{8}$

Đáp án A

Nhận xét: Số giao điểm của $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ với Ox bằng số giao điểm của $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ với Ox (vì đồ thị hàm số $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ có được chỉ là do ta tịnh tiến đồ thị hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ sang phải 1 đơn vị)

Vì m > 0 nên $\left(C\text{'}\text{'}\right):y=f(x-1)+m$ có được bằng cách tịnh tiến $\left(C\text{'}\right):y=f(x-1)$ lên trên m đơn vị

Ta sẽ biện luận số giao điểm của $y=f(x-1)+m$ với trục Ox (cũng chính là giao điểm của $y=f(x-1)$ với y = - m) để suy ra cực trị của hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$

+ TH1: $-m\le -6\iff m\ge 6$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Loại

+ TH2: $-6<-m<-3\iff 3<m<6$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận

+TH3: $-m=3\iff m=3$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị, nhận

+ TH4: $-3<-m<0\iff 0<m<3$

Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x-1\right)+m\right|$ có dạng:

Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị, loại

Vậy $3\le m<6$. Do $m\in Z^{+}\Rightarrow m\in \left\{3;4;5\right\}$

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12

Đáp án B

Đặt $\sin x=t,x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t^2-mt-4$ trên $\left[0;1\right]$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+6t-m$

Để hàm số f(t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$ cần:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]\iff 3t^2+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right] \\ \iff 3t^2+6t\ge m,\forall t\in \left[0;1\right] \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(t\right)=3t^2+6t$ trên $\left[0;1\right]$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=6t+6 \\ g\text{'}\left(t\right)=0\iff t=-1\notin \left[0;1\right] \end{gathered}$$

BBT:

Nhìn bào BBT ta thấy với $m\le 0$ thì $g\left(t\right)\ge 0\ge m,\forall t\in \left[0;1\right]$, suy ra $f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]$ hay f (t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$

Vậy với  thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$