Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm hai điểm A(1; 2; 3), B(0; 1; −6) và mp (P): 4x − y + 2z + 13 = 0. Gọi (d) là một đường thẳng thuộc (P), (d) đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (P)

Gọi AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, H ∈ d

Þ AM ≤ AH

Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất

Þ AM = AH và điểm M trùng với điểm H, M ∈ d

Vì AM ⊥ (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Mặt phẳng (P): 4x − y + 2z + 13 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (4; −1; 2)

Þ ${\overrightarrow{u}}_{AM}$ = (4; −1; 2)

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{AM}$= (4; −1; 2) và đi qua điểm A(1; 2; 3) nên có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}\right.$

• M ∈ d Þ Điểm M có tọa độ là: M(1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t)

• M ∈ (P) Þ Thay tọa điểm M (1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4. (1 + 4t) – (2 – t) + 2. (3 + 2t) + 13 = 0

Þ 4 + 16t – 2 + t + 6 + 4t + 13 = 0

Þ 21t = –21

Þ t = –1

Þ Điểm M có tọa độ là: M(–3; 3; 1)

Với B(0; 1; −6) và M(–3; 3; 1) ta có:

$\overrightarrow{BM}$ = (–3 – 0; 3 – 1; 1 – (–6)) = (–3; 2; 7)

Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{BM}$ = (3; −2; −7).