Câu hỏi:

13/07/2024 427

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2a. A là điểm trên nửa đường tròn, $∠ A C B = α (0^{0} < α < 90^{0}) .$ Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D (D khác B), tiếp tuyến của (O) tại D cắt AC tại I. Vẽ $D E ⊥ A B, D F ⊥ A C$ $(E \in A B, F \in A C)$

a) Tính $∠ A O B$ theo $α$

b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Tính $S_{A O B}$

d) Chứng minh rằng : DI là đường trung bình $Δ A D C$ . Tính $α$ khi DI // EF

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 25 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2a. A là điểm trên nửa đường tròn, (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A O B} = 2 \hat{A C B}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow \hat{A O B} = 2 α$

b) Ta có $\hat{B A C} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tương tự $\Rightarrow \hat{A D B} = 90^{0}$

Ta có: $\hat{A} = \hat{E} = \hat{F} = 90^{0} \Rightarrow A E D F$ là hình chữ nhật $\Rightarrow \hat{E A D} = \hat{A E F}$

Mà $\hat{E A D} = \hat{A C B}$ (cùng phụ $\hat{A B D}) \Rightarrow \hat{A E F} = \hat{A C B}$

$\Rightarrow B E F C$ là tứ giác nội tiếp

c) $S_{q u a t \overset{⏜}{A B}} = \frac{π R^{2} .2 α}{360^{0}} = \frac{π R^{2} α}{180^{0}} (d v d t)$

$Δ A D O$ vuông tại D $\Rightarrow \sin O = \frac{A D}{A O} \Rightarrow A D = R . \sin 2 α$

$\Leftrightarrow S_{A O B} = \frac{1}{2} O B . A D = \frac{1}{2} R . R \sin 2 α = \frac{R^{2} \sin 2 α}{2}$

d) Gọi P là tâm đường tròn đường kính AB

Xét $Δ P A I$ và $Δ P D I$ có: $\hat{P A I} = \hat{P D I} = 90^{0}, P A = P D, P I$ chung

$\Rightarrow Δ P A I = Δ P D I (c h - c g v) \Rightarrow D I = A I (1)$

$Δ A D C$ vuông tại D $(d o \hat{A D B} = 90^{0} - c m t)$ mà $A I = D I \Rightarrow Δ A D I$ cân tại I.

$\Rightarrow \hat{D A I} = \hat{A D I} \Rightarrow 90^{0} - \hat{D A I} = 90^{0} - \hat{A D I} \Rightarrow \hat{I D C} = \hat{I C D}$ $\Rightarrow Δ D I C$ cân tại I $\Rightarrow D I = I C (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A I = I C \Rightarrow D I$ là đường trung tuyến $Δ A D C$

Khi DI // EF $\Rightarrow \hat{E F D} = \hat{F D I}$ (So le trong)

Mà ta có $\hat{A D F} = \hat{D A B} = \hat{I C D} = \hat{I D C} = α$

Mà $\hat{E F D} = \hat{D A B}$ (Tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow \hat{A D F} = \hat{F D I} = \hat{I D C} = α$ mà $\hat{A D F} + \hat{F D I} + \hat{I D C} = \hat{A D C} = 90^{0}$

$\Rightarrow 3 α = 90^{0} \Rightarrow α = 30^{0}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ $C K ⊥ A E$ tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) AHCK là tứ giác nội tiếp $b) A H . A B = A D^{2} c) Δ A C F$ cân

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây (ảnh 1)

a) ∠ H = ∠ K = 90^{0} \Rightarrow ∠ H + ∠ K = 180^{0} \Rightarrow A H C K

là tứ giác nội tiếp

b) $Δ A D B$ vuông tại D, DH đường cao $\Rightarrow A D^{2} = A H . A B$

c) $∠ E A C = ∠ E D B = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{E C}; ∠ E A C = ∠ K H C$ (do AKCH là tứ giác nội tiếp)

$\Rightarrow ∠ E D C = ∠ K H C \Rightarrow D F / / H K$ (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC)

\Rightarrow Δ A C F

là tam giác cân

Câu 2

Cho hàm số $y = 2 x^{2}$ có đồ thị là (P)

a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ

b) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình $2 x^{2} - 2 m + 3 = 0$ theo m

Xem đáp án

Lời giải

a) Học sinh tự vẽ Parabol

b) $2 x^{2} - 2 m + 3 = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 2 m - 3$

Khi $2 m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$ thì phương trình $2 x^{2} - 2 m + 3 = 0$ vô nghiệm

Khi $2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \Rightarrow$ phương trình $2 x^{2} - 2 m + 3 = 0$ có 1 nghiệm

Khi $2 m - 3 > 0 \Rightarrow 2 x^{2} - 2 m + 3$ có hai nghiệm

Câu 3