Câu hỏi:

13/08/2022 255

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 6, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 và (Q): 2x – y + z – 5 = 0 lần lượt tại hai điểm A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 6 có tâm I(1; 2; −1).

Mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là nP = (1; 1; 2).

Mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là nQ = (2; –1; 1).

Gọi A(x; y; z) là tiếp điểm (S) và (P).

Þ IA=x1;y2;z+1 

Vì A là là tiếp điểm (S) và (P) nên ta cóIA=k.nP

x11=y21=z+12=k  

x=k+1y=k+2z=2k1

 

Mà A (P) nên ta có: x + y + 2z + 5 = 0

Þ k + 1 + k + 2 + 2(2k – 1) + 5 = 0

Þ 6k = –6

Þ k = –1

x=0y=1z=3

 

Þ A(0; 1; −3)

Gọi B(x'; y'; z') là tiếp điểm của mặt phẳng (Q): 2x – y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S)

Khi đó : IB=m.nQB(Q) Û x'12=y'21=z'+112x'y'+z'5=0 

Tương tự như trên ta tìm được B(3; 1; 0).

Với A(0; 1; −3)B(3; 1; 0) ta có:

Độ dài AB = 302+(11)2+(0+3)2 = 32 

Vậy ta chọn phương án D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = x3 + ax2 + bx + c

Þ f '(x) = 3x2 + 2ax + b

Þ f "(x) = 6x + 2a

Þ g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

= x3 + ax2 + bx + c + 3x2 + 2ax + b + 6x + 2a

= x3 + (a + 3)x2 + (2a + b + 6)x + 2a + b + c

Þ g '(x) = 3x2 + 2(a + 3)x + 2a + b + 6

Hàm số g '(x) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 (x1 < x2) cũng là 2 điểm cực trị của y = g(x)

Nên g(x1) = 2; g(x2) = –4 (do g(x) là hàm số bậc ba có hệ số của x3 là 1 > 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

 f(x)g(x)+6=1  

fxgx6gx+6=0

 

Ta có g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Þ f(x) – g(x) = –[f '(x) + f "(x)]

 = –(3x2 + 2ax + b + 6x + 2a)

= –[3x2 + (2a + 6)x +  b + 2a]

Do đó ta có:

fxgx6gx+6=0

3x2+2a+6x+ b+2a6gx+6=0

3x2+2a+3x+2a+b+6gx+6=0

g'xgx+6=0

 

Û g '(x) = 0

x=x1x=x2

 

Þ S = x1x2g'(x)g(x)+6dx = ln|g(x)+6|x1x2 

= |ln|g(x2) + 6| – ln|g(x1) + 6||

= |ln(−4 + 6) – ln(2 + 6)|

= |ln2 – ln8|

= ln8 – ln2

= 3ln2 – ln2

= 2ln2

Vậy diện tích cần tìm là 2ln2.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d: x12=y+11=z21 có một vectơ chỉ phương là  ud = (2; 1; −1)

Gọi M = AB ∩ d

Þ M(1 + 2t; −1 + t; 2 – t)

Với A(1; 2; −1) ta có:

AM = (2t; t – 3; 3 – t)

Lại có AB ^ d Û AM .u = 0

Û 2.2t + 1.(t – 3)1.(3 – t) = 0

Û 4t + t – 3 – 3 + t = 0

Û t = 1

Þ AM=2;2;2 

Þ uAB = (1; −1; 1)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; −1) có vectơ chỉ phương uAB = (1; −1; 1) có phương trình là:

x=1+t'y=2t'z=1+t' (t ℝ)

B nằm trên AB nên ta có B(1 + t'; 2 – t'; –1 + t')

Do B = AB ∩ (P) nên tọa độ của B thỏa mãn phương trình của (P): x + y + 2z + 1 = 0.

Þ 1 + t' + 2 – t' + 2.(–1 + t') + 1 = 0

Þ 2t' + 2 = 0

Þ t' = –1

Khi đó B(0; 3; −2)

Vậy tọa độ của B là (0; 3; −2).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP