Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 và (Q): 2x – y + z – 5 = 0 lần lượt tại hai điểm A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): (x – 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6 có tâm I(1; 2; −1).

Mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (1; 1; 2).

Mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}$ = (2; –1; 1).

• Gọi A(x; y; z) là tiếp điểm (S) và (P).

Þ $\overrightarrow{IA}=\left(x-1;y-2;z+1\right)$ 

Vì A là là tiếp điểm (S) và (P) nên ta có: $\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{n_P}$

$\iff \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}=k$  

$\iff \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}x=k+1\\ y=k+2\end{array}\\ z=2k-1\end{array}\right.$

Mà A ∈ (P) nên ta có: x + y + 2z + 5 = 0

Þ k + 1 + k + 2 + 2(2k – 1) + 5 = 0

Þ 6k = –6

Þ k = –1

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\\ z=-3\end{array}\right.$

Þ A(0; 1; −3)

• Gọi B(x'; y'; z') là tiếp điểm của mặt phẳng (Q): 2x – y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S)

Khi đó : $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{IB}=m.{\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}\\ B\in \left(Q\right)\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}\frac{x\text{'}-1}{2}=\frac{y\text{'}-2}{-1}=\frac{z\text{'}+1}{1}\\ 2x\text{'}-y\text{'}+z\text{'}-5=0\end{array}\right.$ 

Tương tự như trên ta tìm được B(3; 1; 0).

Với A(0; 1; −3) và B(3; 1; 0) ta có:

Độ dài AB = $\sqrt{{\left(3-0\right)}^2+{(1-1)}^2+{(0+3)}^2}$ = $3\sqrt{2}$ 

Vậy ta chọn phương án D.