Giả sử F(x) = x2 là một nguyên hàm của f(x)sin2x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos2x trên khoảng (0; π). Biết rằng Gπ2 = 0, Gπ4 = aπ + bπ2 + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng...

Đáp án đúng là: B F(x) = x2 là nguyên hàm của f(x)sin2x Nên F'(x) = f(x)sin2x Û 2x = f(x)sin2x Û f(x) = 2xsin2x G(x) là nguyên hàm của f(x)cos2x Do đó G(x) = ∫f(x)cos2xdx = ∫2xsin2x.cos2xdx = ∫2x(1−sin2x)sin2xdx = ∫2xsin2xdx−∫2xdx = ∫2xd(−cotx) − x2 = −2xcotx + ∫2cotx.dx − x2 = −2xcotx – x2 + 2∫cotx.dx = −2xcotx – x2 + 2ln|sinx| + C Theo giả thiết: • Gπ2 = 0 ⇔−2.π2.cotπ2−π22+2lnsinπ2+C=0 ⇔−π.0−π42+2ln1+C=0 Û −π24 + C = 0 Û C = π24 Nên G(x) = −2xcotx – x2 + 2ln|sinx| + π24 • Gπ4=−2.π4.cotπ4−π42+2lnsinπ4+π24 = −π2−π216+2ln12+π24 = −π2+3π216−2ln2 = −π2+3π216−ln2 Mà Gπ4 = aπ + bπ2 + cln2 Nên ta có: a = −12; b = 316; c = −1 Vậy a + b + c = −12 + 316 − 1 = −2116.

Câu hỏi:

13/08/2022 1,568

Giả sử F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x)sin²x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos²x trên khoảng (0; π). Biết rằng G $(\frac{π}{2})$ = 0, G $(\frac{π}{4})$ = aπ + bπ² + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

A. $- \frac{27}{16};$

B. $- \frac{21}{16};$

Đáp án chính xác

C. $- \frac{5}{16};$

D. $\frac{11}{16} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

F(x) = x² là nguyên hàm của f(x)sin²x

Nên F'(x) = f(x)sin²x

Û 2x = f(x)sin²x Û f(x) = $\frac{2 x}{\sin^{2} x}$

G(x) là nguyên hàm của f(x)cos²x

Do đó G(x) = $\int f (x) c o s^{2} x d x$ = $\int \frac{2 x}{\sin^{2} x} . c o s^{2} x d x$

= $\int \frac{2 x (1 - \sin^{2} x)}{\sin^{2} x} d x$ = $\int \frac{2 x}{\sin^{2} x} d x - \int 2 x d x$

= $\int 2 x d (- \cot x)$ − x²

= −2xcotx + $\int 2 \cot x . d x$ − x²

= −2xcotx – x² + 2 $\int \cot x . d x$

= −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + C

Theo giả thiết:

• G $(\frac{π}{2})$ = 0

$\Leftrightarrow - 2. \frac{π}{2} . \cot \frac{π}{2} - {(\frac{π}{2})}^{2} + 2 \ln |\sin \frac{π}{2}| + C = 0$

$\Leftrightarrow - π .0 - {\frac{π}{4}}^{2} + 2 \ln |1| + C = 0$

Û $- \frac{π^{2}}{4}$ + C = 0 Û C = $\frac{π^{2}}{4}$

Nên G(x) = −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + $\frac{π^{2}}{4}$

• $G (\frac{π}{4}) = - 2. \frac{π}{4} . \cot \frac{π}{4} - {(\frac{π}{4})}^{2} + 2 \ln |\sin \frac{π}{4}| + \frac{π^{2}}{4}$

= $- \frac{π}{2} - \frac{π^{2}}{16} + 2 \ln \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{π^{2}}{4}$

= $- \frac{π}{2} + \frac{3 π^{2}}{16} - 2 \ln \sqrt{2}$

= $- \frac{π}{2} + \frac{3 π^{2}}{16} - \ln 2$

Mà G $(\frac{π}{4})$ = aπ + bπ² + cln2

Nên ta có: a = $- \frac{1}{2}$ ; b = $\frac{3}{16}$ ; c = −1

Vậy a + b + c = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{16}$ − 1 = $- \frac{21}{16}$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

A. ln3;

B. 3ln2;

C. 4ln2;

D. 2ln2.

Xem đáp án » 13/08/2022 34,307

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{2}{3};$

B. $\frac{7}{3};$

C. 3;

D. 2.

Xem đáp án » 13/08/2022 8,498

Câu 3:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

A. (x + 2)e^2x + e^x + C;

B. (x + 1)e^x + C;

C. (x – 1)e^x + C;

D. (x – 2)e^x + e^x + C.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,597

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

A. 3x + 4y +2z – 17 = 0;

B. 3x – 4y + 2z + 1 = 0;

C. 3x + 4y + 2z + 17 = 0;

D. 3x – 4y + 2z – 1 = 0.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,496

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

A.−3 + 4i;

B. −3 – 4i;

C. 4 + 3i;

D. 3 + 4i.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,123

Câu 6:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

A. −3ln(2 – 3x) + C;

B. −3ln(3x − 2) + C;

C. $- \frac{1}{3}$ ln(2 – 3x) + C;

D.

- \frac{1}{3}

ln(3x – 2) + C.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,055

Câu 7:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

A. 4;

B. 6;

C. 3;

D. 5.

Xem đáp án » 13/08/2022 5,560

Xem thêm các câu hỏi khác »

Giả sử F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x)sin²x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos²x trên khoảng (0; π). Biết rằng G $(\frac{π}{2})$ = 0, G $(\frac{π}{4})$ = aπ + bπ² + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Giả sử F(x) = x2 là một nguyên hàm của f(x)sin2x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos2x trên khoảng (0; π). Biết rằng Gπ2 = 0, Gπ4 = aπ + bπ2 + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x)g(x)+6 và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e2x là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: x−12=y−11=z−1−1. Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 12−3x trên khoảng 23;+∞ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z2 – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2|?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giả sử F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x)sin²x và G(x) là một nguyên hàm của f(x)cos²x trên khoảng (0; π). Biết rằng G $(\frac{π}{2})$ = 0, G $(\frac{π}{4})$ = aπ + bπ² + cln2, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?