Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z2 – wz – 4 | bằng A. 4; B. 229−3; C. 8; D. 229−5.

Đáp án đúng là: C Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ). Þ iw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i = ci + di2 – 2 + 5i = (c + 5)i – d – 2 Khi đó ta có: • |z| = a2+b2=2 Þ a2 + b2 = 4 Þ a, b ∈ [–2; 2] • |iw – 2 + 5i| = c+52+−d−22=1 Þ (c + 5)2 + (d + 2)2 = 1 Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1]. Ta có: T = |z2 – wz – 4| = |z2 – wz − |z|2| = |z2 – wz – z . z¯| = |z| . |z − z¯ − w| = 2|z − z¯ − w| Þ T = 2|2bi – (c + di)| = 2|– c + (2b – d)i| = 2(2b−d)2+c2 ≥ 2c2 = 2|c| ≥ 2.4 = 8 (do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : c=−42b−d=0(c+5)2+(d+2)2=1 Þ c=−4d=−2b=−1 Vậy |z2 – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Câu hỏi:

13/08/2022 394

Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z² – wz – 4 | bằng

A. 4;

B. $2 (\sqrt{29} - 3);$

C. 8;

2 (\sqrt{29} - 5) .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ).

Þ iw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i

= ci + di² – 2 + 5i

= (c + 5)i – d – 2

Khi đó ta có:

• |z| = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2$ Þ a² + b² = 4

Þ a, b ∈ [–2; 2]

• |iw – 2 + 5i| = $\sqrt{{(c + 5)}^{2} + {(- d - 2)}^{2}} = 1$

Þ (c + 5)² + (d + 2)² = 1

Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1].

Ta có:

T = |z² – wz – 4|

= |z² – wz − |z|²|

= |z² – wz – z . $\bar{z}$ |

= |z| . |z − $\bar{z}$ − w|

= 2|z − $\bar{z}$ − w|

Þ T = 2|2bi – (c + di)|

= 2|– c + (2b – d)i|

= 2 $\sqrt{{(2 b - d)}^{2} + c^{2}}$ ≥ 2 $\sqrt{c^{2}}$ = 2|c| ≥ 2.4 = 8

(do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : $\{\begin{matrix} c = - 4 \\ 2 b - d = 0 \\ {(c + 5)}^{2} + {(d + 2)}^{2} = 1 \end{matrix}$ Þ $\{\begin{matrix} c = - 4 \\ d = - 2 \\ b = - 1 \end{matrix}$

Vậy |z² – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

A. ln3;

B. 3ln2;

C. 4ln2;

D. 2ln2.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + c

Þ f '(x) = 3x²+ 2ax + b

Þ f "(x) = 6x + 2a

Þ g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

= x³ + ax² + bx + c + 3x²+ 2ax + b + 6x + 2a

= x³ + (a + 3)x² + (2a + b + 6)x + 2a + b + c

Þ g '(x) = 3x² + 2(a + 3)x + 2a + b + 6

Hàm số g '(x) = 0 có 2 nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂) cũng là 2 điểm cực trị của y = g(x)

Nên g(x₁) = 2; g(x₂) = –4 (do g(x) là hàm số bậc ba có hệ số của x³ là 1 > 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{f (x)}{g (x) + 6} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{f (x) - g (x) - 6}{g (x) + 6} = 0$

Ta có g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Þ f(x) – g(x) = –[f '(x) + f "(x)]

= –(3x²+ 2ax + b + 6x + 2a)

= –[3x²+ (2a + 6)x + b + 2a]

Do đó ta có:

$\Leftrightarrow \frac{f (x) - g (x) - 6}{g (x) + 6} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{- [3 x^{2} + (2 a + 6) x + b + 2 a] - 6}{g (x) + 6} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3 x^{2} + 2 (a + 3) x + 2 a + b + 6}{g (x) + 6} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{g^{'} (x)}{g (x) + 6} = 0$

Û g '(x) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \\ x = x_{2} \end{array}$

Þ S = $|\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{g' (x)}{g (x) + 6} d x|$ = $|\ln {| g (x) + 6 ||}_{x_{1}}^{x_{2}}|$

= |ln|g(x₂) + 6| – ln|g(x₁) + 6||

= |ln(−4 + 6) – ln(2 + 6)|

= |ln2 – ln8|

= ln8 – ln2

= 3ln2 – ln2

= 2ln2

Vậy diện tích cần tìm là 2ln2.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{2}{3};$

B. $\frac{7}{3};$

C. 3;

D. 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Với A(1; –2; 1) và (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 ta có:

d_{(A; (P))} = $\frac{|1 - 2. (- 2) + 2.1 - 1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}}$ = 2

Vậy khoảng cách từ A đến (P) bằng 2.

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −1), đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng (P): x + y + 2z + 1 = 0. Điểm B thuộc (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt d. Tọa độ của B là

A. (−3; 0; 1);

B. (−3; 8; −3);

C. (0; 3; −2);

D. (3; −2; −1).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng

A. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x^{2} + 2 x - 4) d x;$

B. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x^{2} + 2 x + 4) d x;$

C. $\int_{- 1}^{2} (2 x^{2} - 2 x + 4) d x;$

D. $\int_{- 1}^{2} (2 x^{2} - 2 x - 4) d x .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

A. 3x + 4y +2z – 17 = 0;

B. 3x – 4y + 2z + 1 = 0;

C. 3x + 4y + 2z + 17 = 0;

D. 3x – 4y + 2z – 1 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

A. (x + 2)e^2x + e^x + C;

B. (x + 1)e^x + C;

C. (x – 1)e^x + C;

D. (x – 2)e^x + e^x + C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. −3;

B. 7;

C. 3;

D. −7.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z2 – wz – 4 | bằng

Bình luận

Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x)g(x)+6 và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −1), đường thẳng d: x−12=y+11=z−2−1 và mặt phẳng (P): x + y + 2z + 1 = 0. Điểm B thuộc (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt d. Tọa độ của B là

Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: x−12=y−11=z−1−1. Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e2x là

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó ∫13f(x)dx bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2 và |iw – 2 + 5i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z² – wz – 4 | bằng

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −1), đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng (P): x + y + 2z + 1 = 0. Điểm B thuộc (P) thỏa mãn đường thẳng AB vuông góc và cắt d. Tọa độ của B là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng