Câu hỏi:

13/08/2022 431

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(10; 6; −2), B(5; 10; −9) và mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0. Điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng (α) sao cho hai đường thẳng MA và MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. Hoành độ của tâm đường tròn đó bằng

A. $\frac{9}{2};$

B. −4;

C. 2;

Đáp án chính xác

D. 10.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (α) có phương trình: 2x + 2y + z – 12 = 0.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên (α).

• Với A(10; 6; −2) ta có:

AH = d_(A;(α)) = $\frac{|2.10 + 2.6 - 2 - 12|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}}$ = 6

• Với B(5; 10; −9) ta có:

BK = d_(B;(α)) = $\frac{|2.5 + 2.10 - 9 - 12|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}}$ = 3

Vì điểm M di động trên mặt phẳng (α) sao cho MA, MB luôn tạo với (α) các góc bằng nhau nên ta có sin $\hat{A M H}$ = sin $\hat{B M K}$

$\Rightarrow \frac{A H}{A M} = \frac{B K}{B M} \Rightarrow \frac{B M}{A M} = \frac{B K}{A H} = \frac{1}{2}$

Þ MA = 2MB

Gọi M(x; y; z).

MA = 2MB Û MA² = 4MB²

Û (x – 10)² + (y – 6)² + (z + 2)² = 4[(x – 5)² + (y – 10)² + (z + 9)²]

Û x² – 20x + 100 + y² – 12y + 36 + z² + 4z + 4

= 4x² – 40x + 100 + 4y² – 80y + 400 + 4z² + 72z + 324

Û 3x² + 3y² + 3z² – 20x – 68y + 68z + 684 = 0

Û x² + y² + z² − $\frac{20}{3}$ x − $\frac{68}{3}$ y + $\frac{68}{3}$ z + 228 = 0

Suy ra điểm M thỏa mãn $\{\begin{matrix} 2 x + 2 y + z - 12 = 0 (α) \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{20}{3} x - \frac{68}{3} y + \frac{68}{3} z + 228 = 0 (S) \end{matrix}$

Mặt cầu (S) có tâm I $(\frac{10}{3}; \frac{34}{3}; - \frac{34}{3})$ .

Gọi (ω) là đường tròn cố định luôn đi qua M.

Do đó M ∈ (ω) là giao tuyến của (α) và (S).

Þ Tâm N của (ω) là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 12 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; 2; 1).

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) là:

$\{\begin{cases} x = \frac{10}{3} + 2 t \\ y = \frac{34}{3} + 2 t \\ z = - \frac{34}{3} + t \end{cases}$

Vì N là hình chiếu của I lên (α) nên N ∈ d.

Þ $N (\frac{10}{3} + 2 t; \frac{34}{3} + 2 t; - \frac{34}{3} + t)$

Mà N ∈ (α) nên ta có:

$2. (\frac{10}{3} + 2 t) + 2 (\frac{34}{3} + 2 t) + (- \frac{34}{3} + t) - 12 = 0$

Þ 20 + 12t + 68 + 12t – 34 + 3t – 36 = 0

Þ 27t = –18

Þ t = $\frac{- 2}{3}$

Suy ra điểm N(2; 10; −12)

Vậy hoành độ của tâm đường tròn (ω) bằng 2.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

A. ln3;

B. 3ln2;

C. 4ln2;

D. 2ln2.

Xem đáp án » 13/08/2022 31,907

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{2}{3};$

B. $\frac{7}{3};$

C. 3;

D. 2.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,856

Câu 3:

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

A.−3 + 4i;

B. −3 – 4i;

C. 4 + 3i;

D. 3 + 4i.

Xem đáp án » 13/08/2022 6,029

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

A. 3x + 4y +2z – 17 = 0;

B. 3x – 4y + 2z + 1 = 0;

C. 3x + 4y + 2z + 17 = 0;

D. 3x – 4y + 2z – 1 = 0.

Xem đáp án » 13/08/2022 5,885

Câu 5:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

A. −3ln(2 – 3x) + C;

B. −3ln(3x − 2) + C;

C. $- \frac{1}{3}$ ln(2 – 3x) + C;

D.

- \frac{1}{3}

ln(3x – 2) + C.

Xem đáp án » 13/08/2022 5,741

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

A. 4;

B. 6;

C. 3;

D. 5.

Xem đáp án » 13/08/2022 5,508

Câu 7:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. −3;

B. 7;

C. 3;

D. −7.

Xem đáp án » 13/08/2022 4,898

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x)g(x)+6 và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0. Khoảng cách từ điểm A(1; –2; 1) đến mặt phẳng (P) bằng

Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 – 3i. Số phức liên hợp của z là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: x−12=y−11=z−1−1. Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 12−3x trên khoảng 23;+∞ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z2 – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2|?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó ∫13f(x)dx bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) = x³ + ax² + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết hàm số g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x) có hai giá trị cực trị là −4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{f (x)}{g (x) + 6}$ và y = 1 bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Mặt phẳng đi qua M và chứa d có phương trình là

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2 - 3 x}$ trên khoảng $(\frac{2}{3}; + \infty)$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z² – 2mz + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3]. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [1; 3] thỏa mãn F(1) = −2 và F(3) = 5. Khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng