Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d: $\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-2};$ ∆₁: $\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và ∆₂: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$. Đường thẳng ∆ vuông góc với d đồng thời cắt ∆₁, ∆₂ lần lượt tại H, K sao cho HK nhỏ nhất. Biết rằng ∆ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$(h; k; 1). Giá trị h – k bằng

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + c

Þ f '(x) = 3x² + 2ax + b

Þ f "(x) = 6x + 2a

Þ g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

= x³ + ax² + bx + c + 3x² + 2ax + b + 6x + 2a

= x³ + (a + 3)x² + (2a + b + 6)x + 2a + b + c

Þ g '(x) = 3x² + 2(a + 3)x + 2a + b + 6

Hàm số g '(x) = 0 có 2 nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂) cũng là 2 điểm cực trị của y = g(x)

Nên g(x₁) = 2; g(x₂) = –4 (do g(x) là hàm số bậc ba có hệ số của x³ là 1 > 0)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

 $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}=1$  

$\iff \frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)-6}{g\left(x\right)+6}=0$

Ta có g(x) = f(x) + f '(x) + f "(x)

Þ f(x) – g(x) = –[f '(x) + f "(x)]

 = –(3x² + 2ax + b + 6x + 2a)

= –[3x² + (2a + 6)x +  b + 2a]

Do đó ta có:

$\iff \frac{f\left(x\right)-g\left(x\right)-6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{–\left[3x^2+\left(2a+6\right)x+ b+2a\right]-6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{3x^2+2\left(a+3\right)x+2a+b+6}{g\left(x\right)+6}=0$

$\iff \frac{g^{\text{'}}\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}=0$

Û g '(x) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1\\ x=x_2\end{array}\right.$

Þ S = $\left|\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)+6}dx\right|$ = $\left|\ln {\left.\left|g\right(x)+6|\right|}_{x_1}^{x_2}\right|$ 

= |ln|g(x₂) + 6| – ln|g(x₁) + 6||

= |ln(−4 + 6) – ln(2 + 6)|

= |ln2 – ln8|

= ln8 – ln2

= 3ln2 – ln2

= 2ln2

Vậy diện tích cần tìm là 2ln2.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$ có một vectơ chỉ phương là  $\overrightarrow{u_d}$ = (2; 1; −1)

Gọi M = AB ∩ d

Þ M(1 + 2t; −1 + t; 2 – t)

Với A(1; 2; −1) ta có:

$\overrightarrow{AM}$ = (2t; t – 3; 3 – t)

Lại có AB ^ d Û $\overrightarrow{AM}$ .$\overrightarrow{u}$ = 0

Û 2.2t + 1.(t – 3) – 1.(3 – t) = 0

Û 4t + t – 3 – 3 + t = 0

Û t = 1

Þ $\overrightarrow{AM}=\left(2;-2;2\right)$ 

Þ ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ = (1; −1; 1)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; −1) có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{AB}$ = (1; −1; 1) có phương trình là:

$\left\{\begin{array}{c}x=1+t^{\text{'}}\\ y=2-t^{\text{'}}\\ z=-1+t^{\text{'}}\end{array}\right.$ (t ∈ ℝ)

B nằm trên AB nên ta có B(1 + t'; 2 – t'; –1 + t')

Do B = AB ∩ (P) nên tọa độ của B thỏa mãn phương trình của (P): x + y + 2z + 1 = 0.

Þ 1 + t' + 2 – t' + 2.(–1 + t') + 1 = 0

Þ 2t' + 2 = 0

Þ t' = –1

Khi đó B(0; 3; −2)

Vậy tọa độ của B là (0; 3; −2).