Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: D

Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\widehat{MAD}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=2\widehat{A_2}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$ và $\widehat{MAE}=\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=2\widehat{A_3}$.

Ta có $\widehat{DAE}=\widehat{MAD}+\widehat{MAE}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2\widehat{BAC}=2.90°=180°$.

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.

Do đó đáp án B đúng.

Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.