Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

$\widehat{MAP}=\widehat{PCN}\left(=60°\right)$ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng)   (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét DBOA và DBOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat{OBM}=\widehat{OBN}=60°:2=30°$.

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=30°$ và $\widehat{OCN}=\widehat{OCP}=30°$.

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng)  (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO   (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = CE.

Xét ∆EBC và ∆DCB, có:

BC là cạnh chung.

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

BD = CE (chứng minh trên).

Do đó ∆EBC = ∆DCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cặp góc tương ứng).

Suy ra ∆BOC cân tại O.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆BOC cân tại O.

Suy ra OB = OC.

Mà AB = AC (chứng minh trên)

Do đó AO là đường trung trực của cạnh BC  (1).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$

Suy ra AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC

Khi đó AM là đường trung trực của BC         (2)

Từ (1), (2), ta suy ra A, O, M thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có O thuộc AM (chứng minh trên).

Mà O là giao điểm của BE và CD.

Suy ra ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại điểm O.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.