Câu hỏi:

18/08/2022 1,558

Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

B. DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất;

C. AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 15 câu Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\hat{M A D} = \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = 2 \hat{A_{2}}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\hat{A_{3}} = \hat{A_{4}}$ và $\hat{M A E} = \hat{A_{3}} + \hat{A_{4}} = 2 \hat{A_{3}}$ .

Ta có $\hat{D A E} = \hat{M A D} + \hat{M A E} = 2 (\hat{A_{2}} + \hat{A_{3}}) = 2 \hat{B A C} = 2.90 ° = 180 °$ .

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.

Do đó đáp án B đúng.

Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là

A. Điểm B;

B. Trung điểm của cạnh NP;

C. Trung điểm của cạnh MN;

D. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

$\hat{M A P} = \hat{P C N} (= 60 °)$ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét DBOA và DBOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)

Suy ra $\hat{A B O} = \hat{C B O}$ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\hat{O B M} = \hat{O B N} = 60 ° : 2 = 30 °$ .

Chứng minh tương tự, ta được:

$\hat{O A M} = \hat{O A P} = 30 °$ và $\hat{O C N} = \hat{O C P} = 30 °$ .

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

$\hat{O A M} = \hat{O B N}$ (= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 2

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết $\hat{A B C} = 70 °$ . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABD vuông;

B. ∆CBD vuông;

\hat{A D C} = 110 °

;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB.

Suy ra ∆OAB cân tại O.

Do đó $\hat{O A B} = \hat{O B A}$ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có: $\hat{O A B} + \hat{O B A} + \hat{A O B} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2 \hat{O A B} = 180 ° - \hat{A O B}$ .

Do đó $\hat{O B A} = \hat{O A B} = \frac{180 ° - \hat{A O B}}{2}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\hat{O A D} = \hat{O D A} = \frac{180 ° - \hat{A O D}}{2}$ .

Do đó $\hat{O A B} + \hat{O A D} = \frac{180 ° - \hat{A O B}}{2} + \frac{180 ° - \hat{A O D}}{2}$

$= \frac{180 °}{2} - \frac{\hat{A O B}}{2} + \frac{180 °}{2} - \frac{\hat{A O D}}{2}$

$= 180 ° - \frac{\hat{A O B} + \hat{A O D}}{2}$

$= 180 ° - \frac{180 °}{2}$ (do hai góc $\hat{A O B}, \hat{A O D}$ kề bù).

= 90°.

Suy ra ∆ABD vuông tại A.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự như trên, ta được ∆CBD vuông tại C.

Do đó đáp án B đúng.

∆ABD vuông tại A: $\hat{A D B} + \hat{A B D} = 90 °$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\hat{A D B} = 90 ° - \hat{A B D}$ hay $\hat{A D O} = 90 ° - \hat{A B O}$ .

Tương tự, ta được $\hat{O D C} = 90 ° - \hat{C B O}$ .

Do đó $\hat{A D O} + \hat{O D C} = 90 ° - \hat{A B O} + 90 ° - \hat{C B O}$

$= 180 ° - (\hat{A B O} + \hat{C B O}) = 180 ° - \hat{A B C}$

= 180° – 70° = 110°.

Suy ra $\hat{A D C} = 110 °$ .

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3

Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆BOC cân tại O;

B. Ba điểm A, O, M thẳng hàng;

C. AM, BE, CD đồng quy tại một điểm;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?

A. IA > IB > IC;

B. IA = IB = IC;

C. IA < IB < IC;

D. Không thể so sánh được độ dài của IA, IB, IC.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

A. BC;

B. AM;

C. AB;

D. AC.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

A. OB = OC = 2 cm;

B. OB = OC = 4 cm;

C. OB = OC = 8 cm;

D. OB = 2 cm; OC = 4 cm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo $\hat{O M B}$ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết ABC^=70°. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?

Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo OMB^ bằng:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết $\hat{A B C} = 70 °$ . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo $\hat{O M B}$ bằng: