Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PM, PN với đường tròn (O). (M, N là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung MQ song song với PN; PQ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A (A khác Q)

a) Chứng minh tứ giác PMON nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh $P{M}^2=PA.PQ$

c) Chứng minh $\widehat{MQN}=\widehat{NAQ}$

d) Tia MA cắt PN ại K. Chứng minh K là trung điểm của NP.

a) $\widehat{OMP}+\widehat{ONP}={180}^0\Rightarrow OMNP$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét $\Delta PAM$ và $\Delta PMQ$ có: $\widehat{P}$ chung; $\widehat{PMA}=\widehat{MQP}$ (cùng chắn cung AM)

$\Rightarrow \Delta PAM~\Delta PMQ(g.g)\Rightarrow \frac{PA}{PM}=\frac{PM}{PQ}\Rightarrow P{M}^2=PA.PQ$

c) Kẻ tiếp tuyến $Nx\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{QNx}$ (so le trong)

$\widehat{QNx}=\widehat{QAN}$ (cùng chắn $\stackrel{⏜}{NQ})\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{NAQ}(dfcm)$

d) Xét $\Delta PKM$ và  $\Delta AKP$ có: $\widehat{K}$ chung;

$\widehat{P}=\widehat{AMP}$ (vì $\widehat{P}=\widehat{MQA}$ (so le trong); $\widehat{MQA}=\widehat{AMP}$ (cùng chắn cung MA)

$\Rightarrow \Delta PKM~\Delta AKP\left(g-g\right)\Rightarrow \frac{PK}{KM}=\frac{AK}{PK}\Rightarrow P{K}^2=AK.KM\left(1\right)$

Xét $\Delta NKM$ và $\Delta AKN$ có: $\widehat{K}$ chung;

$\widehat{NAK}=\widehat{MNK}$ (vì $\widehat{NAK}=\widehat{MQN}$ (tứ giác nội tiếp), $\widehat{MQN}=\widehat{MNK}$ (cùng chắn cung MN))

$\Rightarrow \Delta NKM~\Delta AKN(g.g)\Rightarrow \frac{NK}{KM}=\frac{AK}{KN}\Rightarrow N{K}^2=KM.AK\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $P{K}^2=N{K}^2\Rightarrow PK=NK\Rightarrow K$ là trung điểm của NP.