Cho hai biểu thức P=x+3x−2 và Q=x−1x+2+5x−2x−4 với x>0, x≠4. Tìm giá trị của x để biểu thức PQ đạt giá trị nhỏ nhất.

Với x>0, x≠4 ta có: Q=x−1x+2+5x−2x−4=x−1x−2+5x−2x−4=x−3x+2+5x−2x−4=x+2xx−4=xx+2x+2x−2=xx−2 ⇒PQ=x+3x=x+3x≥23 (Do bất đẳng thức Cô-si). Đẳng thức xảy ra khi x=3x⇔x=3 Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ là 23 khi x = 3.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,212

Cho hai biểu thức $P = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x > 0, x \neq 4$ . Tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với $x > 0, x \neq 4$ ta có:

$Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2) + 5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{x - 3 \sqrt{x} + 2 + 5 \sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{3}$ (Do bất đẳng thức Cô-si).

Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{P}{Q}$ là $2 \sqrt{3}$ khi x = 3.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

c) Tìm x để biểu thức $P = A . B$ có giá trị là số nguyên.

Xem đáp án » 13/07/2024 23,727

Câu 2:

b) Tìm m để phương trình $\frac{A}{B} = m + 1$ có nghiệm.

Xem đáp án » 13/07/2024 9,789

Câu 3:

c) Cho $P = A . B$ . So sánh P với 2

Xem đáp án » 13/07/2024 7,047

Câu 4:

c) Cho $P = \frac{A}{B}$ . Tìm giá tri nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,783

Câu 5:

c) Tìm các giá trị của x để B có giá trị âm.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,040

Câu 6:

b) Tìm x để $|A| > A$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,882

Xem thêm các câu hỏi khác »