Điều kiện: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có: $N = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}) . (\sqrt{x} + 1) = (\frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}) . (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} . (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $N = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Câu 3/55

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) (\sqrt{x} - 3)$ . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - 9 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 9 \end{cases}$

Với $x \geq 0, x \neq 9$ ta có:

$P = (\frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3)} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) (\sqrt{x} - 3) = [\frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}] (\sqrt{x} - 3) = \frac{\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . (\sqrt{x} - 3) = \frac{4}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $P = \frac{4}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0, x \neq 9$ .

Câu 4/55

Cho biểu thức $Q = \frac{\sqrt{x} - 11}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2}$ . Tìm điều kiện của x để biểu thức Q có nghĩa, khi đó rút gọn Q.

Xem đáp án

Lời giải

Để Q có nghĩa, điều kiện là: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x - \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Với điều kiện trên ta có:

$Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 11}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 11 - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 11 - (x - 2 \sqrt{x}) + (2 x + \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x + 4 \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 1}$

Vậy

Q = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 1}

với

x \geq 0

và

x \neq 4

Câu 5/55

Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ khi x = 9.

Xem đáp án

Lời giải

Thay x = 9 vào A ta được: $A = \frac{\sqrt{9} + 1}{\sqrt{9} - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vậy A = 2 khi x = 9.

Câu 6/55

Cho biểu thức $A = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ . Tính giá trị của A khi $x = 4 - 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Với $x \geq 0, x \neq 4$ ta có:

$A = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(2 x - 4 \sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 2} = 2 \sqrt{x} + 1$

Khi $x = 4 - 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3})}^{2} - 2. \sqrt{3} .1 + 1^{2} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{3} - 1$ , thay vào A ta được:

$A = 2 \sqrt{x} + 1 = 2 \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} + 1 = 2 (\sqrt{3} - 1) + 1 = 2 \sqrt{3} - 1$

Vậy $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ thì $A = 2 \sqrt{3} - 1$ .

Ta thấy $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ có thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A.

Câu 7/55

Cho biểu thức $B = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ , điều kiện $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

Lời giải

a) Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có:

B = \frac{(2 + \sqrt{x}) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{(2 - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{(x + \sqrt{x} - 2) + (- x + \sqrt{x} + 2)}{x - 1} = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1}

Vậy $B = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

Câu 8/55

b) Tính giá trị B khi $x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có: $x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}} = \sqrt{9 + 2.3.2 \sqrt{2} + 8} = \sqrt{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{2}} = 3 + 2 \sqrt{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x \geq 0, x \neq 1$ ).

$\sqrt{x} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2. \sqrt{2} .1 + 1} = \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = \sqrt{2} + 1$

Thay $x = \sqrt{2} + 1$ vào B ta được: $B = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{3 + 2 \sqrt{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1 + \sqrt{2})} = 1$

Vậy

x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}

thì B = 1.

Câu 9/55