Một hình chữ nhật có chu vi là 100m. Nếu tăng chiều rộng thêm 5m và chiều dài thêm 10m, thì được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm \[400{m^2}\] so với diện tích hỉnh chữ nhật ban đầu. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

(THCS Bạch Liêu-Nghệ An năm học 2018-2019)

• Phân tích đề bài

Gọi ẩn là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Lập bảng:

Suy ra phương trình \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + {\rm{ }}10} \right) - xy = 400.\]

Chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\]

Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu. Từ đó tính được diện tích hình chữ nhật ban đầu.

• Giải chi tiết

Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu.

Điều kiện: \[y > x > 0.\]

Vì chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\] (1)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy.

Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 5;{\rm{ }}y + 10.\]

Diện tích của hình chữ nhật mới là \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right).\]

Vì hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 400\[{m^2}\] so với diện tích hình chữ nhật ban đầu nên ta có phương trình: \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right) - xy = 400 \Leftrightarrow 10x + 5y = 350.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\10x + 5y = 350\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\2x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 30\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là \[S = 20.30 = 600\] \[{m^2}.\]