Dạng 7: Bài toán có nội dung hình học có đáp án

• Giải chi tiết

Gọi x (m) là độ dài một cạnh góc vuông. Điều kiện: \[0 < x < 10.\]

Độ dài cạnh góc vuông còn lại \[x + 2\] (m).

Theo đề bài ta có phương trình:

\[{x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = {10^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 96 = 0 \Leftrightarrow \]

Vậy độ dài các cạnh góc vuông là 6m và 8m.

• Phân tích đề bài

Gọi ẩn là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Lập bảng:

Suy ra phương trình \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + {\rm{ }}10} \right) - xy = 400.\]

Chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\]

Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu. Từ đó tính được diện tích hình chữ nhật ban đầu.

• Giải chi tiết

Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu.

Điều kiện: \[y > x > 0.\]

Vì chu vi của hình chữ nhật là 100m nên ta có: \[x + y = 50.\] (1)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy.

Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là \[x + 5;{\rm{ }}y + 10.\]

Diện tích của hình chữ nhật mới là \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right).\]

Vì hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 400\[{m^2}\] so với diện tích hình chữ nhật ban đầu nên ta có phương trình: \[\left( {x + 5} \right)\left( {y + 10} \right) - xy = 400 \Leftrightarrow 10x + 5y = 350.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\10x + 5y = 350\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\2x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 30\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là \[S = 20.30 = 600\] \[{m^2}.\]

• Phân tích đề bài

Chu vi hình chữ nhật là \[2\left( {x + y} \right).\]

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

• Giải chỉ tiết

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x(m), y(m).

Điều kiện: \[10 > x > y > 0.\]

Từ giả thiết chu vi bằng 28m, suy ra phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 28.\] (1)

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là 10m nên: \[\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 100.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 14\\{x^2} + {y^2} = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - y{\rm{               }}\left( 3 \right)\\{x^2} + {y^2} = 100{\rm{           }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (3) thay vào (4) ta được: \[{\left( {14 - y} \right)^2} + {y^2} = 100 \Leftrightarrow 2{y^2} - 28y + {\rm{ }}96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\\y = 6\end{array} \right.\]

Với \[y = 8\] thì \[x = 6\] (không thỏa mãn điều kiện).

Với \[y = 6\] thì \[x = 8\] (thỏa mãn).

Vậy hình chữ nhật đã cho có chiều dài 8m và chiều rộng 6m.

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật. Điều kiện: \[x > y > 4.\]

Chu vi của khu vườn là 280 m, nên ta có:

\[2\left( {x + y} \right) = 280 \Leftrightarrow x + y = 140.\] (1)

Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là \[x - 4;{\rm{ }}y - 4.\]

Diện tích đất để trồng trọt là: \[\left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 4256.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 140\\\left( {x - 4} \right)\left( {y - 4} \right) = 4256\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có: \[y = 140 - x,\] thay vào (2) ta được:

\[\left( {x - 4} \right)\left( {136 - x} \right) = 4256 \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4800 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\\x = 80\end{array} \right.\]

Nếu \[x = 80\] thì \[y = 60\] (thỏa mãn).

Nếu \[x = 60\] thì \[y = 80\] (loại).

Vậy khu vườn có chiều dài 80m và chiều rộng 60m