Dạng 4: Bài toán về năng suất có đáp án

• Phân tích đề bài

Đề bài hỏi “Theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày làm được bao nhiêu chiếc nón lá?”, tức là ta phải tìm năng suất theo dự kiến. Do đó ta sẽ gọi ẩn là năng suất dự kiến.

Lập bảng

Từ đó suy ra phương trình.

• Giải chỉ tiết

Gọi x là số chiếc nón là làm ra trong mỗi ngày theo dự kiến ban đầu. Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

Thời gian làm xong 300 chiếc nón là theo dự định là \(\frac{{300}}{x}\) (ngày).

Thời gian thực tế làm xong 300 chiếc nón lá là \(\frac{{300}}{{x + 5}}\) (ngày).

Vì thực tế cơ sở đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định nên ta có phương trình:

\(\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3 \Leftrightarrow 300\left( {x + 5} \right) - 300x = 3x\left( {x + 5} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 15x - 1500 = 0\)  

Vậy theo dự kiến ban đầu thì mỗi ngày cơ sở đó làm được 20 chiếc nón lá.

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

Thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn 1 tấn hàng nên suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe). Điều kiện: \[x > 4,{\rm{ }}x \in \mathbb{N}\]

Mỗi xe dự định chở được \(\frac{{80}}{x}\) (tấn).

Số xe chở hàng thực tế của đội là \(x - 4\) (xe).

Mỗi xe thực tế chở được \(\frac{{80}}{{x - 4}}\)(tấn).

Vì mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1

\[\frac{{80}}{{x - 4}} - \frac{{80}}{x} = 1 \Leftrightarrow 80x - 80\left( {x - 4} \right) = x\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 320 = 0\]  

Vậy số xe lúc đầu của đội là 20 xe.

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

Dựa vào giả thiết “họ hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày” để suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong một ngày là x (cây). Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}*\)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong một ngày theo thực tế là \[x + 15\] (cây).

Số cây trồng được theo thực tế là \[240 + 30 = 270\] (cây).

Thời gian trồng 240 cây xanh theo dự định là \(\frac{{240}}{x}\) (ngày).

Thời gian tròng 270 cây xanh theo thực tế là \(\frac{{270}}{{x + 15}}\) (ngày).

Do họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{240}}{x} - \frac{{270}}{{x + 15}} = 2 \Leftrightarrow 240\left( {x + 15} \right) - 270x = 2x\left( {x + 15} \right)\)

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 60x - 3600 = 0 \Leftrightarrow \]  

Vậy số cây mà chi đoàn dự định tròng trong một ngày là 30 cây.

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

Từ đó suy ra hệ phương trình.

• Giải chỉ tiết

Gọi số chi tiết máy tháng riêng mà tổ I và tổ II sản xuất được lần lượt là x, y (chi tiết). Điều kiện: \[x,y \in {\mathbb{N}^*}\]

Tháng giêng cả hai tổ sản xuất được số chi tiết máy là: \[x + y = 900.\] (1)

Tháng hai tổ I sản xuất được số chi tiết máy là: \[x + x.15\% = 1,15x.\]

Tháng hai tổ II sản xuất được số chi tiết máy là: \[y + y.10\% = 1,1y.\]

Tháng hai cả hai tổ sản xuất được số chi tiết máy là: \[1,15x + 1,1y = 1010\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\1,15x + 1,1y = 1010\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 500\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy tháng giêng tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.

• Phân tích đề bài

Đề bài hỏi: “ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu \[{m^3}\] đất?”. Do đó ta gọi ẩn là lượng đất đội dự định đào mỗi ngày. Sau đó lập bảng:

Đội hoàn thành công việc trong 35 ngày, từ đó suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi lượng đất đội dự định đào mỗi ngày là x \(\left( {{m^3}} \right).\) Điều kiện: \[x > 0.\]

Lượng đất đội đào được mỗi ngày lúc sau là \[x + 100{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right).\]

Thời gian đào 5000\[{m^3}\] đất đầu tiên là \(\frac{{5000}}{x}\) (ngày).

Lượng đất còn lại cần đào là: \[20000 - 5000 = 15000{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right).\]

Thời gian đào 15000\[{m^3}\] đất còn lại là \(\frac{{15000}}{{x + 100}}\) (ngày).

Do tổng thời gian đào là 35 ngày nên ta có phương trình\(\frac{{5000}}{x} + \frac{{15000}}{{x + 100}} = 35\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{1000}}{x} + \frac{{3000}}{{x + 100}} = 7 \Leftrightarrow 1000\left( {x + 100} \right){\rm{ + 3000 }}x = 7x\left( {x + 100} \right)\]

\( \Leftrightarrow 7{x^2} - 3300x - 100000 = 0\)

Vậy ban đầu đội dự định mỗi ngày đào 500\[{m^3}\] đất.