Dạng 4: Bài toán về năng suất có đáp án

Thi Online Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

Dạng 4: Bài toán về năng suất có đáp án

3453 lượt thi
5 câu hỏi
30 phút

Câu 1:

Để phục vụ cho Festival Huế 2018, một cơ sở sản xuất nón lá dự kiến làm ra 300 chiếc nón lá trong một thời gian đã định. Do được bổ sung thêm nhân công nên mỗi ngày cơ sở đó làm ra được nhiều hơn 5 chiếc nón lá so với dự kiến ban đầu, vì vậy cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định. Hỏi theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày cơ sở đó làm ra bao nhiêu chiếc nón lá? Biết rằng số chiếc nón lá làm ra mỗi ngày là bằng nhau và nguyên chiếc.

(Sở Thừa Thiên Huế năm học 2018-2019)

• Phân tích đề bài

Đề bài hỏi “Theo dự kiến ban đầu, mỗi ngày làm được bao nhiêu chiếc nón lá?”, tức là ta phải tìm năng suất theo dự kiến. Do đó ta sẽ gọi ẩn là năng suất dự kiến.

Lập bảng

	Năng suất (chiếc/ngày)	Thời gian (ngày)	Khối lượng công việc
Dự kiến	x	\(\frac{{300}}{x}\)	300
Thực tế	\(x + 5\)	\(\frac{{300}}{{x + 5}}\)	300

Từ đó suy ra phương trình.

• Giải chỉ tiết

Gọi x là số chiếc nón là làm ra trong mỗi ngày theo dự kiến ban đầu. Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

Thời gian làm xong 300 chiếc nón là theo dự định là \(\frac{{300}}{x}\) (ngày).

Thời gian thực tế làm xong 300 chiếc nón lá là \(\frac{{300}}{{x + 5}}\) (ngày).

Vì thực tế cơ sở đã hoàn thành 300 chiếc nón lá sớm hơn 3 ngày so với thời gian đã định nên ta có phương trình:

\(\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3 \Leftrightarrow 300\left( {x + 5} \right) - 300x = 3x\left( {x + 5} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 15x - 1500 = 0\)

Vậy theo dự kiến ban đầu thì mỗi ngày cơ sở đó làm được 20 chiếc nón lá.

Câu 2:

Để chở hết 80 tấn quà tặng đồng bào nghèo ở vùng cao đón Tết, một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại. Lúc sắp khởi hành có 4 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng mới hết. Tính số xe lúc đầu của đội biết rằng khối lượng hàng các xe chở được như nhau.

(THCS Mạc Đĩnh Chi-Hà NỘI năm học 2018-2019)

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

	Mỗi xe chở được (tấn)	Số xe (xe)	Số hàng chở được (tấn)
Dự định	\(\frac{{80}}{x}\)	\(x\)	80
Thực tế	\(\frac{{80}}{{x - 4}}\)	\(x - 4\)	80

Thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn 1 tấn hàng nên suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe). Điều kiện: \[x > 4,{\rm{ }}x \in \mathbb{N}\]

Mỗi xe dự định chở được \(\frac{{80}}{x}\) (tấn).

Số xe chở hàng thực tế của đội là \(x - 4\) (xe).

Mỗi xe thực tế chở được \(\frac{{80}}{{x - 4}}\)(tấn).

Vì mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1

\[\frac{{80}}{{x - 4}} - \frac{{80}}{x} = 1 \Leftrightarrow 80x - 80\left( {x - 4} \right) = x\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 320 = 0\]

Vậy số xe lúc đầu của đội là 20 xe.

Câu 3:

Hưởng ứng phong trào trồng cây vì môi trường xanh, sạch, đẹp; một chi đoàn thanh niên dự định trồng 240 cây xanh trong một thời gian quy định. Do mỗi ngày chi đoàn tròng nhiều hơn dự định 15 cây nên không những họ hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày mà còn trồng thêm được 30 cây xanh nữa. Tính số cây mà chi Đoàn dự định trồng trong một ngày.

(THCS Nhân Chính năm 2018)

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

	Số cây trồng được trong một ngày (cây)	Thời gian hoàn thành (ngày)	Số cây tròng được (cây)
Dự định	\(x\)	\(\frac{{240}}{x}\)	240
Thực tế	\(x + 15\)	\(\frac{{270}}{{x + 15}}\)	270

Dựa vào giả thiết “họ hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày” để suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong một ngày là x (cây). Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}*\)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong một ngày theo thực tế là \[x + 15\] (cây).

Số cây trồng được theo thực tế là \[240 + 30 = 270\] (cây).

Thời gian trồng 240 cây xanh theo dự định là \(\frac{{240}}{x}\) (ngày).

Thời gian tròng 270 cây xanh theo thực tế là \(\frac{{270}}{{x + 15}}\) (ngày).

Do họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{240}}{x} - \frac{{270}}{{x + 15}} = 2 \Leftrightarrow 240\left( {x + 15} \right) - 270x = 2x\left( {x + 15} \right)\)

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 60x - 3600 = 0 \Leftrightarrow \]

Vậy số cây mà chi đoàn dự định tròng trong một ngày là 30 cây.

Câu 4:

Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vuợt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

(KSCL Phong GD Vinh Tường-Vinh Phúc 2018-2019)

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Lập bảng:

	Tổ I (chi tiết)	Tổ II (chi tiết)	Cả hai tổ
Tháng giêng	x	y	900
Tháng hai	\(x + x.15\% \)	\(y + y.10\% \)	1010

Từ đó suy ra hệ phương trình.

• Giải chỉ tiết

Gọi số chi tiết máy tháng riêng mà tổ I và tổ II sản xuất được lần lượt là x, y (chi tiết). Điều kiện: \[x,y \in {\mathbb{N}^*}\]

Tháng giêng cả hai tổ sản xuất được số chi tiết máy là: \[x + y = 900.\] (1)

Tháng hai tổ I sản xuất được số chi tiết máy là: \[x + x.15\% = 1,15x.\]

Tháng hai tổ II sản xuất được số chi tiết máy là: \[y + y.10\% = 1,1y.\]

Tháng hai cả hai tổ sản xuất được số chi tiết máy là: \[1,15x + 1,1y = 1010\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 900\\1,15x + 1,1y = 1010\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 500\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy tháng giêng tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy.

Câu 5:

Một đội máy xúc được thuê đào 20000\[{m^3}\] đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng khi đào được 5000\[{m^3}\] thì đội được tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được 100\[{m^3},\] do đó đã hoàn thành công việc trong 35 ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu \[{m^3}\] đất?

(Sở Tây Ninh năm học 2018-2019)

Xem đáp án

• Phân tích đề bài

Đề bài hỏi: “ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu \[{m^3}\] đất?”. Do đó ta gọi ẩn là lượng đất đội dự định đào mỗi ngày. Sau đó lập bảng:

	Năng suất (\[{m^3}\]/ngày)	Thời gian hoàn thành (ngày)	Khối lượng công việc \(\left( {{m^3}} \right)\)
Dự định	x	\(\frac{{20000}}{x}\)	20000
Thực tế	x	\(\frac{{5000}}{x}\)	5000
Thực tế	\(x + 100\)	\(\frac{{15000}}{{x + 100}}\)	15000

Đội hoàn thành công việc trong 35 ngày, từ đó suy ra phương trình.

• Giải chi tiết

Gọi lượng đất đội dự định đào mỗi ngày là x \(\left( {{m^3}} \right).\) Điều kiện: \[x > 0.\]

Lượng đất đội đào được mỗi ngày lúc sau là \[x + 100{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right).\]

Thời gian đào 5000\[{m^3}\] đất đầu tiên là \(\frac{{5000}}{x}\) (ngày).

Lượng đất còn lại cần đào là: \[20000 - 5000 = 15000{\rm{ }}\left( {{m^3}} \right).\]

Thời gian đào 15000\[{m^3}\] đất còn lại là \(\frac{{15000}}{{x + 100}}\) (ngày).

Do tổng thời gian đào là 35 ngày nên ta có phương trình\(\frac{{5000}}{x} + \frac{{15000}}{{x + 100}} = 35\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{1000}}{x} + \frac{{3000}}{{x + 100}} = 7 \Leftrightarrow 1000\left( {x + 100} \right){\rm{ + 3000 }}x = 7x\left( {x + 100} \right)\]

\( \Leftrightarrow 7{x^2} - 3300x - 100000 = 0\)

Vậy ban đầu đội dự định mỗi ngày đào 500\[{m^3}\] đất.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề