Trong mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right)$ , cho parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$và đường thẳng (d): $y=\left(2m-1\right)x+5$ .

            a) Vẽ đồ thị của (P).

            b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm $\text{E}\left(7;12\right)$ .

c) Đường thẳng  cắt parabol (P) tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ của A, B và tính diện tích tam giác OAB.

Phương trình hoành độ giao điểm của  và :

$x^2=2\left(m-1\right)x+m+1\iff x^2-2\left(m-1\right)x-m-1=0$ (1)

Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của và .

Ta có $\Delta \text{'}={(m-1)}^2-(-m-1)=m^2-m+2$ .

Ta có $m^2-m+2={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$   với mọi giá trị của .

Suy ra $\Delta \text{'}>0$  với mọi giá trị của .

phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi  hay  luôn cắt  tại hai điểm phân biệt.

           b) Tìm các giá trị của  để  cắt  tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$  thỏa mãn  $x_1+3x_2-8=0$.

Theo câu a), ta có  là hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\ x_1{x}_2=-m-1\end{array}\right.$

Kết hợp giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\left(2\right)\\ x_1{x}_2=-m-1\left(3\right)\\ x_1+3x_2-8=0\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ (2) và (4), tính được $x_1=3m-7;x_2=-m+5$

Thay vào (3), tính được  $(5-m)(3m-7)=-m-1\iff 3m^2-23m+34=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=\frac{17}{3}\end{array}\right.$ .

Vậy $m=2;m=\frac{17}{3}$  thỏa mãn đề bài.