Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].

Chứng minh rằng \[2AD = AB + AC - BC\].

Ta chỉ cần chứng minh các tia phân giác của ba góc \[A,B,D\] gặp nhau tại một điểm. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu \[AB = BC\] thì từ giả thiết suy ra \[CD = AD\].

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta CBD\] có \[AB = BC\], \[AD = DC\] và \[BD\] chung nên \[\Delta ABD = \Delta CBD\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\].

Do đó \[BD\] là đường phân giác của các góc \[B\] và \[D\].

Gọi \[O\] là giao điểm của tia phân giác góc \[A\] với \[BD\]. Suy ra \[BO,DO\] là các tia phân giác của các góc \[B\] và \[D\].

Trường hợp 2: Nếu \[AB \ne BC\], giả sử \[AB > BC\], suy ra \[DA > DC\].

Lấy điểm \[M\] trên \[AB\], điểm \[N\] trên \[AD\] sao cho \[BM = BC,DN = DC\].

Từ giả thiết suy ra \[AM = AN\]. Các đường phân giác của các góc \[A,B,D\] chính là các đường trung trực của tam giác \[CMN\] nên chúng gặp nhau tại một điểm \[O\].

Vậy điểm \[O\] là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác \[ABCD\].

Làm tương tự ví dụ 3, ta tính được: \[r = 4\sqrt 5 {\rm{ cm}}\] (với \[r\] là bán kính đường tròn nội tiếp hình thang \[ABCD\]), \[AB = 6\sqrt 5 {\rm{ cm}},CD = 12\sqrt 5 {\rm{ cm}}\].

Do đó diện tích hình thang \[ABCD\] là:

            \[{S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {6\sqrt 5 + 12\sqrt 5 } \right).8\sqrt 5 }}{2} = 360{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]