Câu hỏi:
13/07/2024 579
Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
Quảng cáo
Trả lời:

Gọi \[I\] là giao điểm của \[AB\] và \[CD\]. Góc \[\widehat {BIC} = 90^\circ \] và là góc có đỉnh \[I\] ở bên trong đường tròn nên .
Suy ra \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \].
Ta có \[\widehat F + \widehat H = 180^\circ - \left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{B_1}}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 180^\circ \].
Vậy \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

Ta chỉ cần chứng minh các tia phân giác của ba góc \[A,B,D\] gặp nhau tại một điểm. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu \[AB = BC\] thì từ giả thiết suy ra \[CD = AD\].
Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta CBD\] có \[AB = BC\], \[AD = DC\] và \[BD\] chung nên \[\Delta ABD = \Delta CBD\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\].
Do đó \[BD\] là đường phân giác của các góc \[B\] và \[D\].

Gọi \[O\] là giao điểm của tia phân giác góc \[A\] với \[BD\]. Suy ra \[BO,DO\] là các tia phân giác của các góc \[B\] và \[D\].
Trường hợp 2: Nếu \[AB \ne BC\], giả sử \[AB > BC\], suy ra \[DA > DC\].
Lấy điểm \[M\] trên \[AB\], điểm \[N\] trên \[AD\] sao cho \[BM = BC,DN = DC\].
Từ giả thiết suy ra \[AM = AN\]. Các đường phân giác của các góc \[A,B,D\] chính là các đường trung trực của tam giác \[CMN\] nên chúng gặp nhau tại một điểm \[O\].
Vậy điểm \[O\] là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác \[ABCD\].
Lời giải

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[ABC\], ta tính được \[BC = 5{\rm{ cm}}\].
Theo ví dụ 2, ta có: \[AD = AE = \frac{{AB + AC - BC}}{2} = \frac{{3 + 4 - 5}}{2} = 1{\rm{ cm}}\].
Mà \[ADOE\] là hình vuông nên \[r = OD = OE = AD = AE = 1{\rm{ cm}}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.