Tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], đồng thời nội tiếp một đường tròn khác. \[AB = 14{\rm{ cm}},BC = 18{\rm{ cm}},CD = 26{\rm{ cm}}\]. Gọi \[H\] là tiếp điểm của \[CD\] và đường tròn \[\left( O \right)\]. Tính các độ dài \[HC,HD\].

Ta chỉ cần chứng minh các tia phân giác của ba góc \[A,B,D\] gặp nhau tại một điểm. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu \[AB = BC\] thì từ giả thiết suy ra \[CD = AD\].

Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta CBD\] có \[AB = BC\], \[AD = DC\] và \[BD\] chung nên \[\Delta ABD = \Delta CBD\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\].

Do đó \[BD\] là đường phân giác của các góc \[B\] và \[D\].

Gọi \[O\] là giao điểm của tia phân giác góc \[A\] với \[BD\]. Suy ra \[BO,DO\] là các tia phân giác của các góc \[B\] và \[D\].

Trường hợp 2: Nếu \[AB \ne BC\], giả sử \[AB > BC\], suy ra \[DA > DC\].

Lấy điểm \[M\] trên \[AB\], điểm \[N\] trên \[AD\] sao cho \[BM = BC,DN = DC\].

Từ giả thiết suy ra \[AM = AN\]. Các đường phân giác của các góc \[A,B,D\] chính là các đường trung trực của tam giác \[CMN\] nên chúng gặp nhau tại một điểm \[O\].

Vậy điểm \[O\] là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác \[ABCD\].

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[ABC\], ta tính được \[BC = 5{\rm{ cm}}\].

Theo ví dụ 2, ta có: \[AD = AE = \frac{{AB + AC - BC}}{2} = \frac{{3 + 4 - 5}}{2} = 1{\rm{ cm}}\].

Mà \[ADOE\] là hình vuông nên \[r = OD = OE = AD = AE = 1{\rm{ cm}}\].