Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Cho đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$. Vẽ đường tròn $\left(I\right)$ đường kính $OA$. Bán kính $OC$ của đường tròn $\left(I\right)$ cắt đường tròn $\left(I\right)$ tại $O$. Vẽ $CH\perp AB$. Chứng minh tứ giác $ACDH$ là hình thang cân.

Cho hình thoi $ABCD$. Đường trung trực của cạnh $AB$ cắt $BD$ tại $E$ và cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $E,F$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $ABD$.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$, điểm $E$ thuộc cạnh $AC$. Gọi $M$, $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $DE,DC,BC,BE$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.