Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$, điểm $E$ thuộc cạnh $AC$. Gọi $M$, $N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $DE,DC,BC,BE$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD\perp AC$ tại $O$.

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của đoạn $AC$.

Mà $EF$ là đường trung trực của $AB$ (theo giả thiết) và $EF\cap BD=E$. Suy ra $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $∆ABD$.

Xét $∆ADO$ và $∆CHO$ có: $\widehat{ADO}=\widehat{CHO}=90°$ (giả thiết).

                                    $\widehat{AOD}$ chung.

                                    $OA=OC$ (bán kính đường tròn $\left(O\right)$).

$\Rightarrow \Delta ADO=\Delta CHO$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow OH=OD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \frac{OH}{OA}=\frac{OD}{OC}\Rightarrow DH\text{//}AC$ (định lí Ta-lét đảo) $\Rightarrow ACDH$ là hình thang.      (1)

Mà $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (do $∆AOC$ cân tại $O$).                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ACDH$ là hình thang cân.