Cho hình thoi $ABCD$. Đường trung trực của cạnh $AB$ cắt $BD$ tại $E$ và cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $E,F$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $ABD$.

Xét $∆ADO$ và $∆CHO$ có: $\widehat{ADO}=\widehat{CHO}=90°$ (giả thiết).

                                    $\widehat{AOD}$ chung.

                                    $OA=OC$ (bán kính đường tròn $\left(O\right)$).

$\Rightarrow \Delta ADO=\Delta CHO$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow OH=OD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \frac{OH}{OA}=\frac{OD}{OC}\Rightarrow DH\text{//}AC$ (định lí Ta-lét đảo) $\Rightarrow ACDH$ là hình thang.      (1)

Mà $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (do $∆AOC$ cân tại $O$).                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ACDH$ là hình thang cân.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}EC\\ MN=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆DEC$).

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}PQ\text{//}EC\\ PQ=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆BEC$).

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}PQ\\ MN=PQ\end{array}\right.\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.                   (1)

Mặt khác $QM\text{//}BD$ (do $MQ$ là đường trung bình của $∆BDE$) và

$\Rightarrow \widehat{QMN}=\widehat{BAC}=90°$ (góc có cạnh tương ứng song song).   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông $QMN$ và $QPN$ có chung cạnh huyền $QN$ nên bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $QN$.