Cho đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$. Vẽ đường tròn $\left(I\right)$ đường kính $OA$. Bán kính $OC$ của đường tròn $\left(I\right)$ cắt đường tròn $\left(I\right)$ tại $O$. Vẽ $CH\perp AB$. Chứng minh tứ giác $ACDH$ là hình thang cân.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD\perp AC$ tại $O$.

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của đoạn $AC$.

Mà $EF$ là đường trung trực của $AB$ (theo giả thiết) và $EF\cap BD=E$. Suy ra $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $∆ABD$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}EC\\ MN=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆DEC$).

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}PQ\text{//}EC\\ PQ=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆BEC$).

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}PQ\\ MN=PQ\end{array}\right.\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.                   (1)

Mặt khác $QM\text{//}BD$ (do $MQ$ là đường trung bình của $∆BDE$) và

$\Rightarrow \widehat{QMN}=\widehat{BAC}=90°$ (góc có cạnh tương ứng song song).   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông $QMN$ và $QPN$ có chung cạnh huyền $QN$ nên bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $QN$.