Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

a) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $OA=\frac{1}{2}BC=OB=OC$ (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Do đó, điểm $O$ cách đều ba đỉnh $A,B,C$ hay $O$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Giả sử đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $BC$ ngoại tiếp tam giác.

Ta có: $OA=OB=OC$ (vì cùng là bán kính) $\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{1}{2}BC$.

Mà $OA$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ nên $∆ABC$ vuông tại $A$.

Nhận xét

Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}EC\\ MN=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆DEC$).

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}PQ\text{//}EC\\ PQ=\frac{1}{2}EC\end{array}\right.$ (vì $MN$ là đường trung bình của $∆BEC$).

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}MN\text{//}PQ\\ MN=PQ\end{array}\right.\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.                   (1)

Mặt khác $QM\text{//}BD$ (do $MQ$ là đường trung bình của $∆BDE$) và

$\Rightarrow \widehat{QMN}=\widehat{BAC}=90°$ (góc có cạnh tương ứng song song).   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông $QMN$ và $QPN$ có chung cạnh huyền $QN$ nên bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $QN$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD\perp AC$ tại $O$.

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của đoạn $AC$.

Mà $EF$ là đường trung trực của $AB$ (theo giả thiết) và $EF\cap BD=E$. Suy ra $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $∆ABD$.

Xét $∆ADO$ và $∆CHO$ có: $\widehat{ADO}=\widehat{CHO}=90°$ (giả thiết).

                                    $\widehat{AOD}$ chung.

                                    $OA=OC$ (bán kính đường tròn $\left(O\right)$).

$\Rightarrow \Delta ADO=\Delta CHO$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow OH=OD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \frac{OH}{OA}=\frac{OD}{OC}\Rightarrow DH\text{//}AC$ (định lí Ta-lét đảo) $\Rightarrow ACDH$ là hình thang.      (1)

Mà $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (do $∆AOC$ cân tại $O$).                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ACDH$ là hình thang cân.