Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

26 người thi tuần này 4.6 3.4 K lượt thi 5 câu hỏi 60 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

105 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 THCS Nguyễn Trường Tộ (Hà Nội) có đáp án

679 lượt thi 7 câu hỏi

45 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 Trường thực nghiệm KHGD (Hà Nội) có đáp án

619 lượt thi 6 câu hỏi

42 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 THCS&THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

616 lượt thi 7 câu hỏi

179 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Từ Liêm 1 (Hà Nội) có đáp án

1.1 K lượt thi 8 câu hỏi

117 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 10 năm 2026-2027 Trường THCS Kim Giang (Hà Nội) có đáp án

1 K lượt thi 8 câu hỏi

67 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Xã Đại Thanh (Hà Nội) có đáp án

1 K lượt thi 8 câu hỏi

67 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Hồng Vân (Hà Nội) có đáp án

1 K lượt thi 9 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

1 K lượt thi 7 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/5

Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

a) Giả sử tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của $B C$ .

Suy ra $O A = \frac{1}{2} B C = O B = O C$ (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Do đó, điểm $O$ cách đều ba đỉnh $A, B, C$ hay $O$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Câu 2/5

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Xem đáp án

Lời giải

b) Giả sử đường tròn $(O)$ đường kính $B C$ ngoại tiếp tam giác.

Ta có: $O A = O B = O C$ (vì cùng là bán kính) $\Rightarrow O A = O B = O C = \frac{1}{2} B C$ .

Mà $O A$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $B C$ nên $∆ A B C$ vuông tại $A$ .

Nhận xét

Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.

Câu 3/5

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ , điểm $E$ thuộc cạnh $A C$ . Gọi $M$ , $N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $D E, D C, B C, B E$ . Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có: $\{\begin{cases} M N // E C \\ M N = \frac{1}{2} E C \end{cases}$ (vì $M N$ là đường trung bình của $∆ D E C$ ).

Ta có: $\{\begin{cases} P Q // E C \\ P Q = \frac{1}{2} E C \end{cases}$ (vì $M N$ là đường trung bình của $∆ B E C$ ).

Suy ra: $\{\begin{cases} M N // P Q \\ M N = P Q \end{cases} \Rightarrow M N P Q$ là hình bình hành. (1)

Mặt khác $Q M // B D$ (do $M Q$ là đường trung bình của $∆ B D E$ ) và

$\Rightarrow \hat{Q M N} = \hat{B A C} = 90 °$ (góc có cạnh tương ứng song song). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $M N P Q$ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông $Q M N$ và $Q P N$ có chung cạnh huyền $Q N$ nên bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $Q N$ .

Câu 4/5

Cho hình thoi $A B C D$ . Đường trung trực của cạnh $A B$ cắt $B D$ tại $E$ và cắt $A C$ tại $F$ . Chứng minh $E, F$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A B C$ và $A B D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D$ . Vì $A B C D$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D ⊥ A C$ tại $O$ .

$\Rightarrow B D$ là đường trung trực của đoạn $A C$ .

Mà $E F$ là đường trung trực của $A B$ (theo giả thiết) và $E F \cap B D = E$ . Suy ra $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ A B C$ .

Chứng minh tương tự, ta cũng có $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $∆ A B D$ .

Câu 5/5

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Vẽ đường tròn $(I)$ đường kính $O A$ . Bán kính $O C$ của đường tròn $(I)$ cắt đường tròn $(I)$ tại $O$ . Vẽ $C H ⊥ A B$ . Chứng minh tứ giác $A C D H$ là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Xét $∆ A D O$ và $∆ C H O$ có: $\hat{A D O} = \hat{C H O} = 90 °$ (giả thiết).

$\hat{A O D}$ chung.

$O A = O C$ (bán kính đường tròn $(O)$ ).

$\Rightarrow Δ A D O = Δ C H O$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow O H = O D$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \frac{O H}{O A} = \frac{O D}{O C} \Rightarrow D H // A C$ (định lí Ta-lét đảo) $\Rightarrow A C D H$ là hình thang. (1)

Mà $\hat{O A C} = \hat{O C A}$ (do $∆ A O C$ cân tại $O$ ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A C D H$ là hình thang cân.

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.