Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

25 người thi tuần này 4.6 3.4 K lượt thi 5 câu hỏi 60 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

84 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục (Hà Nội) có đáp án

314 lượt thi 7 câu hỏi

36 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

266 lượt thi 6 câu hỏi

33 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

263 lượt thi 7 câu hỏi

32 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Giảng Võ (Hà Nội) có đáp án

262 lượt thi 6 câu hỏi

45 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) có đáp án

275 lượt thi 7 câu hỏi

477 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 19

4.5 K lượt thi 53 câu hỏi

149 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 18

4.2 K lượt thi 100 câu hỏi

98 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 17

4.1 K lượt thi 100 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/5

Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

a) Giả sử tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của $B C$ .

Suy ra $O A = \frac{1}{2} B C = O B = O C$ (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Do đó, điểm $O$ cách đều ba đỉnh $A, B, C$ hay $O$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Câu 2/5

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Xem đáp án

Lời giải

b) Giả sử đường tròn $(O)$ đường kính $B C$ ngoại tiếp tam giác.

Ta có: $O A = O B = O C$ (vì cùng là bán kính) $\Rightarrow O A = O B = O C = \frac{1}{2} B C$ .

Mà $O A$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $B C$ nên $∆ A B C$ vuông tại $A$ .

Nhận xét

Nếu các tam giác vuông có chung cạnh huyền thì các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông đó cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền chung đó.

Câu 3/5

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ , điểm $E$ thuộc cạnh $A C$ . Gọi $M$ , $N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $D E, D C, B C, B E$ . Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có: $\{\begin{cases} M N // E C \\ M N = \frac{1}{2} E C \end{cases}$ (vì $M N$ là đường trung bình của $∆ D E C$ ).

Ta có: $\{\begin{cases} P Q // E C \\ P Q = \frac{1}{2} E C \end{cases}$ (vì $M N$ là đường trung bình của $∆ B E C$ ).

Suy ra: $\{\begin{cases} M N // P Q \\ M N = P Q \end{cases} \Rightarrow M N P Q$ là hình bình hành. (1)

Mặt khác $Q M // B D$ (do $M Q$ là đường trung bình của $∆ B D E$ ) và

$\Rightarrow \hat{Q M N} = \hat{B A C} = 90 °$ (góc có cạnh tương ứng song song). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $M N P Q$ là hình chữ nhật. Các tam giác vuông $Q M N$ và $Q P N$ có chung cạnh huyền $Q N$ nên bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $Q N$ .

Câu 4/5

Cho hình thoi $A B C D$ . Đường trung trực của cạnh $A B$ cắt $B D$ tại $E$ và cắt $A C$ tại $F$ . Chứng minh $E, F$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A B C$ và $A B D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D$ . Vì $A B C D$ là hình thoi nên $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D ⊥ A C$ tại $O$ .

$\Rightarrow B D$ là đường trung trực của đoạn $A C$ .

Mà $E F$ là đường trung trực của $A B$ (theo giả thiết) và $E F \cap B D = E$ . Suy ra $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ A B C$ .

Chứng minh tương tự, ta cũng có $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $∆ A B D$ .

Câu 5/5

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Vẽ đường tròn $(I)$ đường kính $O A$ . Bán kính $O C$ của đường tròn $(I)$ cắt đường tròn $(I)$ tại $O$ . Vẽ $C H ⊥ A B$ . Chứng minh tứ giác $A C D H$ là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Xét $∆ A D O$ và $∆ C H O$ có: $\hat{A D O} = \hat{C H O} = 90 °$ (giả thiết).

$\hat{A O D}$ chung.

$O A = O C$ (bán kính đường tròn $(O)$ ).

$\Rightarrow Δ A D O = Δ C H O$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow O H = O D$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \frac{O H}{O A} = \frac{O D}{O C} \Rightarrow D H // A C$ (định lí Ta-lét đảo) $\Rightarrow A C D H$ là hình thang. (1)

Mà $\hat{O A C} = \hat{O C A}$ (do $∆ A O C$ cân tại $O$ ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A C D H$ là hình thang cân.

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Chứng minh các định lý sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ , điểm $E$ thuộc cạnh $A C$ . Gọi $M$ , $N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $D E, D C, B C, B E$ . Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho hình thoi $A B C D$ . Đường trung trực của cạnh $A B$ cắt $B D$ tại $E$ và cắt $A C$ tại $F$ . Chứng minh $E, F$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $A B C$ và $A B D$ .

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ . Vẽ đường tròn $(I)$ đường kính $O A$ . Bán kính $O C$ của đường tròn $(I)$ cắt đường tròn $(I)$ tại $O$ . Vẽ $C H ⊥ A B$ . Chứng minh tứ giác $A C D H$ là hình thang cân.