Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây có đáp án

21 người thi tuần này 4.6 3 K lượt thi 20 câu hỏi 60 phút

Câu 1/20

Cho đường tròn tâm $O$ , bán kính bằng 5 cm và dây $A B = 8 c m$ .
a) Tính khoảng cách từ $O$ đến $A B$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Kẻ $O E ⊥ A B (E \in A B)$ , suy ra $E$ là trung điểm của $A B$

$\Rightarrow E B = E A = \frac{A B}{2} = 4 cm$ (quan hệ đường kính và dây cung).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $O E B$ , ta có:

$O E^{2} + E B^{2} = O B^{2} \Rightarrow O E = \sqrt{O B^{2} - E B^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 cm$ . (1)

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $A B$ là 3 cm.

Câu 2/20

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $A B$ sao cho $A I = 1 cm$ . Kẻ dây $C D$ đi qua $I$ và vuông góc với $A B$ . Chứng minh $C D = A B$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có $I E = A E - A I = 4 - 1 = 3 cm$ .

Mà tứ giác $O E I F$ là hình chữ nhật nên $O F = I E = 3 cm$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O E = O F$ hay khoảng cách từ tâm đến hai dây $A B$ và $C D$ bằng nhau.

$\Rightarrow A B = C D$ (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).

Câu 3/20

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$ , dây $C D$ không cắt đường kính $A B$ . Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B$ lên $C D$ .

Chứng minh $C H = D K$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Kẻ $O E ⊥ C D (E \in C D) \Rightarrow E$ là trung điểm của $C D$ (quan hệ đường kính và dây cung)

$\Rightarrow E C = E D$ . (1)

Ta có: $A H // B K$ (cùng vuông góc với $C D$ ) nên tứ giác $A H B K$ là hình thang.

Lại có $O E // A H // B K$ và $O$ là trung điểm của $A B$ nên $O E$ là đường trung bình của hình thang $A H B K$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $H K \Rightarrow E H = E K$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $C H = D K$ (đpcm).

Câu 4/20

Cho đường tròn $(O; R)$ . Vẽ hai bán kính $O A, O B$ . Trên các bán kính $O A, O B$ lần lượt lấy các điểm $M, N$ sao cho $O M = O N$ . Vẽ dây $C D$ đi qua $M, N$ ( $M$ nằm giữa $C$ và $N$ ).

a) Chứng minh $C M = D N$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Kẻ $O H ⊥ C D (H \in C D) \Rightarrow H C = H D$ (quan hệ đường kính và dây cung). (1)

Theo giả thiết $O M = O N$ nên $∆ O M N$ cân tại $O \Rightarrow H M = H N$ (2)

Lại có $C H = C M + M H; D H = D N + N H$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $C M = D N$ .

Câu 5/20

b) Giả sử $\hat{A O B} = 90 °$ . Tính $O M$ theo $R$ sao cho $C M = M N = N D$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Giả sử $C M = M N = N D$ . Đặt $O H = x (x > 0)$ . Ta có: $O M = x \sqrt{2}$ (vì $Δ O M N$ vuông cân);

$M N = N H = x; H D = 3 H N = 3 x$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $H O D$ có:

O H^{2} + H D^{2} = O D^{2} \Leftrightarrow x^{2} + {(3 x)}^{2} = R^{2} \Leftrightarrow 10 x^{2} = R^{2} \Leftrightarrow x = \frac{R}{\sqrt{10}} \Rightarrow O M = \frac{R}{\sqrt{5}}

Câu 6/20

Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: $R \approx 6378,1 km$ .

Câu 7/20

Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 20 cm và số đo cung là $30 °$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: $S = \frac{100 π}{3} ({cm}^{2})$ .

Câu 8/20

Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu tăng bán kính lên gấp ba lần?

Xem đáp án

Lời giải

Từ công thức diện tích hình tròn $S = π R^{2}$ , suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn sẽ tăng lên 9 lần.

Câu 9/20