Cho (O;R) và một đường thẳng (d) không cắt (O). Dựng đường thẳng $OH\perp d$tại điểm H. Trên đường thẳng d lấy điểm K (K khác H), qua K vẽ hai tiếp tuyến $KA,KB$với (O), (A, B là tiếp điểm) sao cho $A,H$nằm về hai phía của đường thẳng OK

Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp

Xét (O) có $\widehat{OBK}={90}^0$ (do KB là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Từ đó ta có: $\widehat{OAK}=\widehat{OBK}=\widehat{OHK}={90}^0$nên 5 điểm $A,O,B,H,K$cùng thuộc đường tròn đường kính OK$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OHB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB)

Xét $\Delta IOA$và $\Delta IBH$ có:$\widehat{OIA}=\widehat{BIH}$(hai góc đối đỉnh), $\widehat{OAB}=\widehat{OHB}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta IOA~\Delta IBH(g.g)\Rightarrow \frac{IO}{IB}=\frac{IA}{IH}\iff IO.IH=IA.IB$

Xét đường tròn đường kính OK có

$\widehat{OHB}$ là góc nội tiếp chắn cung OB

$\widehat{OBA}$là góc nội tiếp chắn cung OA

 $\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OBA}$(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)Mà $OA=OB=R$

Xét $\Delta OIB$và $\Delta OBH$ có:

$\widehat{BOH}$chung; $\widehat{OHB}=\widehat{OBA}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta OIB~\Delta OBH(g.g)\Rightarrow \frac{OI}{OB}=\frac{OB}{OH}\iff OI=\frac{O{B}^2}{OH}$

Mà đường thẳng d cố định nên OH không đổi vì $OH\perp d$

$\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}$ không đổi hay điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng  d cố định