1. Cho phương trình : $x^2-\left(m-1\right)x-m=0.$Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại

Xét (O) có $\widehat{OBK}={90}^0$ (do KB là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Từ đó ta có: $\widehat{OAK}=\widehat{OBK}=\widehat{OHK}={90}^0$nên 5 điểm $A,O,B,H,K$cùng thuộc đường tròn đường kính OK$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OHB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB)

Xét $\Delta IOA$và $\Delta IBH$ có:$\widehat{OIA}=\widehat{BIH}$(hai góc đối đỉnh), $\widehat{OAB}=\widehat{OHB}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta IOA~\Delta IBH(g.g)\Rightarrow \frac{IO}{IB}=\frac{IA}{IH}\iff IO.IH=IA.IB$

Xét đường tròn đường kính OK có

$\widehat{OHB}$ là góc nội tiếp chắn cung OB

$\widehat{OBA}$là góc nội tiếp chắn cung OA

 $\Rightarrow \widehat{OHB}=\widehat{OBA}$(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)Mà $OA=OB=R$

Xét $\Delta OIB$và $\Delta OBH$ có:

$\widehat{BOH}$chung; $\widehat{OHB}=\widehat{OBA}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta OIB~\Delta OBH(g.g)\Rightarrow \frac{OI}{OB}=\frac{OB}{OH}\iff OI=\frac{O{B}^2}{OH}$

Mà đường thẳng d cố định nên OH không đổi vì $OH\perp d$

$\Rightarrow OI=\frac{R^2}{OH}$ không đổi hay điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng  d cố định