Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$  là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ,

a)  là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m² + 9 ≠ 0, mà m² + 9 > 0, đúng với mọi m ∈ R.

 có một nghiệm duy nhất khi ∆ = b² – 4ac = (m + 6)² – 4.(m² + 9).1 = 0

⇔ –3m² + 12m = 0

⇔ 3m.(4 – m) = 0

⇔ m = 0 hoặc m = 4

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.

b)  là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m + 3 ≠ 0 hay m ≠ $\frac{-3}{2}$ .

Tam thức  có x = 3 là một nghiệm khi và chỉ khi f (3) = (2m + 3) . 3² + 3.3 – 4m² = 0

Suy ra – 4m² + 18m + 36 = 0 hay – 2m² + 9m + 18 = 0

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 9² – 4.( –2 ).18 = 225 > 0 nên phương trình ẩn m có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

m₁ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{\text{2a}}=\frac{-9+\sqrt{225}}{2.(-2)}=\frac{-3}{2}$  ( loại vì m ≠ $\frac{-3}{2}$ )

 m₂ = $\frac{-\text{b }-\sqrt{\Delta }}{\text{2a}}=\frac{-9-\sqrt{225}}{2.(-2)}$= 6.

Vậy m = 6 thỏa mãn f(x) là tam thức bậc hai có x = 3 là một nghiệm.