Cho các số thực dương x, y thỏa mãn y.y+1−6x−9=2x+42x+3−3y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=xy+3y−4x2−3

ĐKXĐ: y≥02x+3≥0⇔y≥0x≥−32 Đặt 2x+3=tt≥0ta có : yy+1−6x−9=2x+42x+3−3y⇔yy+1−32x+3=2x+42x+3−3y⇔yy+1−3t=tt+1−3y⇔yy+1−tt+1+3y−3t=0⇔yy−tt+y−t+3y−t=0⇔y−ty+yt+t+y−t+3y−ty+t=0⇔y−ty+yt+t+1+4=0⇔y−ty+yt+t+5=0⇔y=t(doy+yt+t+5>0)⇒y=2x+3M=x2x+3+32x+3−4x2−3=−2x2+9x+6M=−2x2−2x.94+8116+818+6⇒M=−2x−942+1298 Vì −2x−942≤0 nên −2x−942+1298≤1298⇔x=94;y=152 Vậy Max M=1298⇔x=94y=152

Câu hỏi:

12/07/2024 1,267

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\sqrt{y} . (y + 1) - 6 x - 9 = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = x y + 3 y - 4 x^{2} - 3$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} y \geq 0 \\ 2 x + 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq \frac{- 3}{2} \end{cases}$

Đặt $2 x + 3 = t (t \geq 0)$ ta có :

$\begin{array}{l} \sqrt{y} (y + 1) - 6 x - 9 = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - 3 (2 x + 3) = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - 3 t = \sqrt{t} (t + 1) - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - \sqrt{t} (t + 1) + 3 y - 3 t = 0 \\ \Leftrightarrow y \sqrt{y} - t \sqrt{t} + (\sqrt{y} - \sqrt{t}) + 3 (y - t) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t) + (\sqrt{y} - \sqrt{t}) + 3 (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (\sqrt{y} + \sqrt{t}) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t + 1 + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t + 5) = 0 \Leftrightarrow y = t (d o (y + \sqrt{y t} + t + 5) > 0) \\ \Rightarrow y = 2 x + 3 \\ M = x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) - 4 x^{2} - 3 = - 2 x^{2} + 9 x + 6 \\ M = - 2 (x^{2} - 2 x . \frac{9}{4} + \frac{81}{16}) + \frac{81}{8} + 6 \Rightarrow M = - 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} + \frac{129}{8} \end{array}$

Vì $- 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} \leq 0$ nên $- 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} + \frac{129}{8} \leq \frac{129}{8} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}; y = \frac{15}{2}$

Vậy $M a x M = \frac{129}{8} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{9}{4} \\ y = \frac{15}{2} \end{cases}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0$ (với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ với mọi m. Tìm các giá trị của tham số m sao cho $|x_{1} - x_{2}| = 4$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có : $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0 (1)$

Phương trình (1) có : $Δ' = {(m - 1)}^{2} - m + 3 = m^{2} - 3 m + 4 = {(m - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ (với mọi m). Khi đó theo định lý Vi – et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 2 \\ x_{1} x_{2} = m - 3 \end{cases}$

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{l} |x_{1} - x_{2}| = 4 \Leftrightarrow x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 16 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} - 16 = 0 \\ \Leftrightarrow {(2 m - 2)}^{2} - 4 (m - 3) - 16 = 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 12 m = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 3 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy $m \in \{0; 3\}$ thỏa đề

Câu 2

a) Rút gọn biểu thức : $P = \frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{3 + 7 \sqrt{a}}{9 - a} (\begin{array}{l} a \geq 0 \\ a \neq 9 \end{array})$

Xem đáp án

Lời giải

a) Với $a \geq 0; a \neq 9$ ta có :

$\begin{array}{l} P = \frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{3 + 7 \sqrt{a}}{9 - a} \\ = \frac{2 \sqrt{a} . (\sqrt{a} - 3) + (\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} + 3) - 3 - 7 \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3) (\sqrt{a} - 3)} \\ = \frac{2 a - 6 \sqrt{a} + a + 4 \sqrt{a} + 3 - 3 - 7 \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3) (\sqrt{a} - 3)} = \frac{3 a - 9 \sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 3) (\sqrt{a} - 3)} \\ = \frac{3 \sqrt{a} (\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} + 3) (\sqrt{a} - 3)} = \frac{3 \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} \end{array}$

Vậy với $a \geq 0; a \neq 9$ thì $B = \frac{3 \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}$

Câu 3