Cho các số thực dương x, y thỏa mãn y.y+1−6x−9=2x+42x+3−3y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=xy+3y−4x2−3

ĐKXĐ: y≥02x+3≥0⇔y≥0x≥−32 Đặt 2x+3=tt≥0ta có : yy+1−6x−9=2x+42x+3−3y⇔yy+1−32x+3=2x+42x+3−3y⇔yy+1−3t=tt+1−3y⇔yy+1−tt+1+3y−3t=0⇔yy−tt+y−t+3y−t=0⇔y−ty+yt+t+y−t+3y−ty+t=0⇔y−ty+yt+t+1+4=0⇔y−ty+yt+t+5=0⇔y=t(doy+yt+t+5>0)⇒y=2x+3M=x2x+3+32x+3−4x2−3=−2x2+9x+6M=−2x2−2x.94+8116+818+6⇒M=−2x−942+1298 Vì −2x−942≤0 nên −2x−942+1298≤1298⇔x=94;y=152 Vậy Max M=1298⇔x=94y=152

Câu hỏi:

12/07/2024 1,094

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\sqrt{y} . (y + 1) - 6 x - 9 = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = x y + 3 y - 4 x^{2} - 3$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} y \geq 0 \\ 2 x + 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq \frac{- 3}{2} \end{cases}$

Đặt $2 x + 3 = t (t \geq 0)$ ta có :

$\begin{array}{l} \sqrt{y} (y + 1) - 6 x - 9 = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - 3 (2 x + 3) = (2 x + 4) \sqrt{2 x + 3} - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - 3 t = \sqrt{t} (t + 1) - 3 y \\ \Leftrightarrow \sqrt{y} (y + 1) - \sqrt{t} (t + 1) + 3 y - 3 t = 0 \\ \Leftrightarrow y \sqrt{y} - t \sqrt{t} + (\sqrt{y} - \sqrt{t}) + 3 (y - t) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t) + (\sqrt{y} - \sqrt{t}) + 3 (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (\sqrt{y} + \sqrt{t}) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t + 1 + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{y} - \sqrt{t}) (y + \sqrt{y t} + t + 5) = 0 \Leftrightarrow y = t (d o (y + \sqrt{y t} + t + 5) > 0) \\ \Rightarrow y = 2 x + 3 \\ M = x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) - 4 x^{2} - 3 = - 2 x^{2} + 9 x + 6 \\ M = - 2 (x^{2} - 2 x . \frac{9}{4} + \frac{81}{16}) + \frac{81}{8} + 6 \Rightarrow M = - 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} + \frac{129}{8} \end{array}$

Vì $- 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} \leq 0$ nên $- 2 {(x - \frac{9}{4})}^{2} + \frac{129}{8} \leq \frac{129}{8} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}; y = \frac{15}{2}$

Vậy $M a x M = \frac{129}{8} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{9}{4} \\ y = \frac{15}{2} \end{cases}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

a) Rút gọn biểu thức : $P = \frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{3 + 7 \sqrt{a}}{9 - a} (\begin{array}{l} a \geq 0 \\ a \neq 9 \end{array})$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,570

Câu 2:

a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 24m. Nếu tăng chiều dài lên 2m và giảm chiều rộng đi 1m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $1 m^{2}$ Tìm độ dài các cạnh của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu

Xem đáp án » 12/07/2024 3,274

Câu 3:

b) Cho phương trình $x^{2} - 2 (m - 1) x + m - 3 = 0$ (với m là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ với mọi m. Tìm các giá trị của tham số m sao cho $|x_{1} - x_{2}| = 4$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,855

Câu 4:

b) Cho hàm số bậc nhất y = ax -4. Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng (d): y = -3x + 2 tại điểm có tung độ là 5

Xem đáp án » 12/07/2024 2,490

Câu 5:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R) và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H $(E \in B C, F \in A C)$

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, E, F cùng nằm trên một đường tròn

Xem đáp án » 12/07/2024 2,237

Câu 6:

b) Giải hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x - 5 - y = 0 \\ 5 x + 3 y = 18 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,758

Câu 7:

b) Chứng minh rằng $O C ⊥ E F$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,151

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP