Phương trình $3\cot x-\sqrt{3}=0$  có nghiệm là

Điều kiện $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0\iff 2x-\frac{\pi }{6}\ne k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$  , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

$\left(1\right)\iff \cot \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\cot \frac{\pi }{3}\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

\[
\text{Điều kiện: } x\ne \frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}.
\]

\[
\cot x\cdot \cot 2x -1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{2\sin^2 x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos 2x-2\sin^2 x}{2\sin^2 x}=0
\]

\[
\Leftrightarrow \cos 2x-(1-\cos 2x)=0
\]

\[
\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}
\]

\[
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
2x&=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
2x&=-\frac{\pi}{3}+2k\pi
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x&=-\frac{\pi}{6}+k\pi
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x&=\frac{5\pi}{6}+k\pi
\end{aligned}
\right.
\quad (k\in\mathbb{Z}).
\]

Vậy họ nghiệm của phương trình đã cho là
\[
x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.
\]