Câu hỏi:

13/07/2024 585

Cho ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: $B E + A K \geq B C .$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 2: Định lí đảo và hệ quả của Định lí Ta-lét có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

* Tìm cách giải.

Với phân tích và suy luận như câu a, ví dụ 4 thì câu a, ví dụ này không quá khó.

Tương tự câu a, chúng ta có kết quả: $\frac{A D}{A K} + \frac{A B}{A F} = 4$ và suy ra $\frac{A D}{A K} + \frac{A B}{A F} + \frac{A B}{B F} + \frac{B C}{B E} = 8$ để liên kết được BE + AK với nhau, mà với suy luận trên thì BE, AK cùng nằm ở mẫu số, do đó chúng ta liên tưởng tới bất đẳng thức đại số $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ sẽ cho chúng ta yêu cầu. Với suy luận đó, chúng ta có lời giải sau:

Media VietJack

* Trình bày lời giải

Tương tự ta có:

$\frac{A D}{A K} + \frac{A B}{A F} = 4 \Rightarrow \frac{A D}{A K} + \frac{A B}{A F} + \frac{A B}{B F} + \frac{B C}{B E} = 8$

$\Rightarrow B C . (\frac{1}{A K} + \frac{1}{B E}) + A B (\frac{1}{A F} + \frac{1}{B F}) = 8$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ (với $x; y > 0$ )

Ta có: $\frac{1}{A F} + \frac{1}{B F} \geq \frac{4}{A F + B F} = \frac{4}{A B} \Rightarrow A B (\frac{1}{A F} + \frac{1}{B F}) \geq 4$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $B C . (\frac{1}{A K} + \frac{1}{B E}) \leq 4$

Mà $\frac{1}{A K} + \frac{1}{B E} \geq \frac{4}{A K + B E} \Rightarrow B C (\frac{1}{A K} + \frac{1}{B E}) \geq \frac{4 B C}{A K + B E}$

$\Rightarrow \frac{4 B C}{A K + B E} \leq 4 \Rightarrow A K + B E \geq B C .$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120 °$ , AD là đường phân giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} = \frac{1}{A D} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 7,393

Câu 2:

Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

$\frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} = 3;$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,798

Câu 3:

Cho tam giác ABC có AD là đường trung tuyến. Gọi M là điểm tùy ý thuộc khoảng BD. Lấy E thuộc AB và F thuộc AC sao cho ME // AC; MF // AB. Gọi H là giao điểm MF và AD. Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF tại K. Đường thẳng AK cắt BC tại I. Tính tỉ số $\frac{I B}{I D}$ ?

Xem đáp án » 13/07/2024 4,883

Câu 4:

Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: $\frac{B M}{A M} + \frac{C N}{A N} = 1.$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,955

Câu 5:

Cho ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: $\frac{B A}{B F} + \frac{B C}{B E} = 4;$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,382

Câu 6:

Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy điểm D, E, F sao cho $\hat{E D C} = \hat{F D B} = 90 °$ . Chứng minh rằng: $EF//BC$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 1,270

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP