Cho tam giác ABC có AD là đường trung tuyến. Gọi M là điểm tùy ý thuộc khoảng BD. Lấy E thuộc AB và F thuộc AC sao cho ME // AC; MF // AB. Gọi H là giao điểm MF và AD. Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF tại K. Đường thẳng AK cắt BC tại I. Tính tỉ số $\frac{IB}{ID}$ ?

Kẻ DE // AB, ta có:

$\widehat{D_1}=\widehat{A_1}=60°;\widehat{A_2}=60°$ nên tam giác ADE đều. Suy ra AD = AE = DE.

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét:$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$  hay  $\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{AC}.$

Mặt khác $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AC}$  nên  $\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\frac{CE}{AC}+\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AC}=1.$

Suy ra   $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}.$

Nhận xét. Những bài toán chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi và chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số của hai đoạn thẳng.

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số $\frac{AB}{AM};\frac{AC}{AN}$ chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Gọi giao điểm của AG và BC là D  $\Rightarrow BD=CD.$

Kẻ BI // CK // MN  $\left(I,K\in AD\right)$

Xét $\Delta BDI$  và $\Delta CDK$  có $BD=CD;\widehat{IBD}=\widehat{KCD};\widehat{IDB}=\widehat{KDC}$  nên  $\Delta BDI=\Delta CDK\left(g.cg\right)$

 $\Rightarrow DI=DK.$

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có $\frac{AB}{AM}=\frac{AI}{AG}$  (vì MG // BI);

$\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}$ (vì GN // CK).

Suy ra    $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2.AD}{AG}=3$        (1) (vì $AD=\frac{3}{2}.AG$ ).