Câu hỏi:

13/07/2024 2,167

Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:BMAM+CNAN=1.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số ABAM;ACAN chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Xét  BMAM=GIAG;CNAN=KGAG

hay BMAM+CNAN=GI+GKAG=2.GDAG=1,  suy ra  BMAM+CNAN=1.

Nhận xét. Từ kết quả (1), chúng ta thấy rằng bởi G là trọng tâm nên 2ADAG=3  . Vậy nếu G không phải là trọng tâm thì ta có bài toán sau:

 - Một đường bất kỳ cắt cạnh AB, AC và đường trung tuyến AD của tam giác ABC lần lượt tại M, N và G. Chứng minh rằng:  ABAM+ACAN=2.ADAG.

- Nếu thay yếu tố trung tuyến bằng hình bình hành, ta có bài toán sau: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng bất kỳ cắt AB, AD và AC lần lượt tại M, N và G. Chứng minh rằng:  ABAM+ADAN=ACAG.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Kẻ DE // AB, ta có:

D1^=A1^=60°;A2^=60° nên tam giác ADE đều. Suy ra AD = AE = DE.

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét:DEAB=CEAC  hay  ADAB=CEAC.

Mặt khác ADAC=AEAC  nên  ADAB+ADAC=CEAC+AEAC=ACAC=1.

Suy ra   1AB+1AC=1AD.

Nhận xét. Những bài toán chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi và chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số của hai đoạn thẳng.

Lời giải

Media VietJack

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số ABAM;ACAN chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Gọi giao điểm của AG và BC là D  BD=CD.

Kẻ BI // CK // MN  I,KAD

Xét ΔBDI  ΔCDK  BD=CD;IBD^=KCD^;IDB^=KDC^  nên  ΔBDI=ΔCDKg.cg

 DI=DK.

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có ABAM=AIAG  (vì MG // BI);

ACAN=AKAG (vì GN // CK).

Suy ra    ABAM+ACAN=2.ADAG=3        (1) (vì AD=32.AG ).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP