Câu hỏi:

12/07/2024 4,383

Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng $G M ⊥ A C$ . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD.

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 3: Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $A C \Rightarrow D H // A B$ và $D H = \frac{1}{2} A B$ (vì DH là đường trung bình $Δ A B C$ ).

Lại có $G M // A B$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow G M // D H$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $Δ A D H$ có $\Rightarrow G M // D H$

$\Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{2}{3} .$

Xét $Δ A B I$ có $G M // A B \Rightarrow \frac{G I}{A I} = \frac{G M}{A B} = \frac{G H}{B H} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{G I + A I}{A I} = \frac{A + 3}{3} \Rightarrow A I = \frac{3}{4} . A G = \frac{3}{4} . \frac{2}{3} . A D \Rightarrow A I = \frac{A D}{2}$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$Δ A B D$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $B M ⊥ A D$ .

Cách 2.

$Δ A D H$ có $G M // D H \Rightarrow \frac{A M}{A H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3. A M = 2. A H = A C = A M + M C$

hay $M C = 2. A M$ .

Áp dụng tính chất đường phân giác trong $Δ A B C$ , ta có:

$\frac{B C}{A B} = \frac{M C}{M A} = 2 \Rightarrow A B = \frac{B C}{2} = B D .$

Vậy $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao.

Do đó $B M ⊥ A D$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 13,080

Câu 2:

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$ sao cho $D, E$ nằm cùng phía đối với điểm I. Chứng minh rằng: $\frac{B C}{I D} + \frac{A C}{I E} = \frac{A B}{I F} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 3,836

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm.Vẽ AK là tia phân giác của góc $\hat{BAC}$ (K thuộc BC). Tính AK?

Xem đáp án » 12/07/2024 2,721

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,359

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP