Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$.

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $AC\Rightarrow DH\text{ // }AB$ và $DH=\frac{1}{2}AB$ (vì DH là đường trung bình $\Delta ABC$).

Lại có  $GM\text{ // }AB$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow GM\text{ // }DH$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $\Delta ADH$ có $\Rightarrow GM\text{ // }DH$

$\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{2}{3}.$

Xét $\Delta ABI$ có $GM\text{ // }AB\Rightarrow \frac{GI}{AI}=\frac{GM}{AB}=\frac{GH}{BH}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{GI+AI}{AI}=\frac{A+3}{3}\Rightarrow AI=\frac{3}{4}.AG=\frac{3}{4}.\frac{2}{3}.AD\Rightarrow AI=\frac{AD}{2}$

 $\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$\Delta ABD$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $\Delta ABD$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $BM\perp AD$.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

$\frac{BD}{ID}=\frac{BF}{IF};\frac{CE}{IE}=\frac{CD}{ID};\frac{AF}{IF}=\frac{AE}{IE}$

Ta có: $\frac{BC}{ID}=\frac{BD}{ID}-\frac{CD}{ID}=\frac{BF}{IF}-\frac{CE}{IE}$              (1)

Ta có: $\frac{AC}{IE}=\frac{AE}{IE}+\frac{CE}{IE}=\frac{AF}{IF}+\frac{CE}{IE}$              (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:

$\frac{BC}{ID}+\frac{AC}{IE}=\frac{BF}{IF}+\frac{AF}{IF}=\frac{AB}{IF}.$