Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ sao cho $D,E$ nằm cùng phía đối với điểm I. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{ID}+\frac{AC}{IE}=\frac{AB}{IF}.$

$\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$

 $\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}=\frac{\text{AH}+\text{HC}}{\text{HD}}$$=1+\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

$\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}-1=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{BC}-\text{BG}}{\text{BG}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

Ta chứng minh: $\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$. Ta có: DE // AH $\Rightarrow$$\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}$.

Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật.

IE = HD = HA; $\widehat{\text{IAE}}=\widehat{\text{HBA}}$ do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.

$\Rightarrow \text{AE}=\text{AB}$$\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$.

Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc $\widehat{\text{BAC}}$ hay G là chân đường phân giác trong góc ABC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:

$\frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$. Vậy $\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$.

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $AC\Rightarrow DH\text{ // }AB$ và $DH=\frac{1}{2}AB$ (vì DH là đường trung bình $\Delta ABC$).

Lại có  $GM\text{ // }AB$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow GM\text{ // }DH$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $\Delta ADH$ có $\Rightarrow GM\text{ // }DH$

$\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{2}{3}.$

Xét $\Delta ABI$ có $GM\text{ // }AB\Rightarrow \frac{GI}{AI}=\frac{GM}{AB}=\frac{GH}{BH}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{GI+AI}{AI}=\frac{A+3}{3}\Rightarrow AI=\frac{3}{4}.AG=\frac{3}{4}.\frac{2}{3}.AD\Rightarrow AI=\frac{AD}{2}$

 $\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$\Delta ABD$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $\Delta ABD$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $BM\perp AD$.