Dạng 4: Bài luyện tập nâng cao có đáp án

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $AC\Rightarrow DH\text{ // }AB$ và $DH=\frac{1}{2}AB$ (vì DH là đường trung bình $\Delta ABC$).

Lại có  $GM\text{ // }AB$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow GM\text{ // }DH$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $\Delta ADH$ có $\Rightarrow GM\text{ // }DH$

$\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{DH}=\frac{2}{3}.$

Xét $\Delta ABI$ có $GM\text{ // }AB\Rightarrow \frac{GI}{AI}=\frac{GM}{AB}=\frac{GH}{BH}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{GI+AI}{AI}=\frac{A+3}{3}\Rightarrow AI=\frac{3}{4}.AG=\frac{3}{4}.\frac{2}{3}.AD\Rightarrow AI=\frac{AD}{2}$

 $\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$\Delta ABD$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $\Delta ABD$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $BM\perp AD$.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

$\frac{BD}{ID}=\frac{BF}{IF};\frac{CE}{IE}=\frac{CD}{ID};\frac{AF}{IF}=\frac{AE}{IE}$

Ta có: $\frac{BC}{ID}=\frac{BD}{ID}-\frac{CD}{ID}=\frac{BF}{IF}-\frac{CE}{IE}$              (1)

Ta có: $\frac{AC}{IE}=\frac{AE}{IE}+\frac{CE}{IE}=\frac{AF}{IF}+\frac{CE}{IE}$              (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:

$\frac{BC}{ID}+\frac{AC}{IE}=\frac{BF}{IF}+\frac{AF}{IF}=\frac{AB}{IF}.$

$\frac{\text{BG}}{\text{BC}}=\frac{\text{HD}}{\text{AH}+\text{HC}}$

 $\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}=\frac{\text{AH}+\text{HC}}{\text{HD}}$$=1+\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

$\Rightarrow \frac{\text{BC}}{\text{BG}}-1=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{BC}-\text{BG}}{\text{BG}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}\Rightarrow \frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{HC}}{\text{HD}}$

Ta chứng minh: $\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$. Ta có: DE // AH $\Rightarrow$$\frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}$.

Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật.

IE = HD = HA; $\widehat{\text{IAE}}=\widehat{\text{HBA}}$ do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.

$\Rightarrow \text{AE}=\text{AB}$$\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$.

Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc $\widehat{\text{BAC}}$ hay G là chân đường phân giác trong góc ABC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:

$\frac{\text{GC}}{\text{GB}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$. Vậy $\Rightarrow \frac{\text{HC}}{\text{HD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}=\frac{\text{GC}}{\text{GB}}$.

Theo tính chất chân đường phân giác trong ta có:

$\frac{\text{KC}}{\text{KB}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{\text{CK}}{\text{CB}}=\frac{4}{7}$.
Gọi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên AC, suy ra KK’ // AB. Theo định lí Talet ta có:

$\frac{\text{KK'}}{\text{AB}}=\frac{\text{CK}}{\text{CB}}=\frac{4}{7}\Rightarrow \text{KK'}=\frac{4}{7}\text{.AB}=\frac{4}{7}.6=\frac{24}{7}\left(\text{cm}\right)$.

Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân tại K’ nên:

$\text{AK}=\text{KK}’.\sqrt{2}=\frac{24}{7}\sqrt{2}\left(\text{cm}\right)$.

Ta chứng minh I là trung điểm của HE.

Vì HE$\perp$AC nên HE // BA. Theo định lí Talet ta có: $\frac{\text{IE}}{\text{NA}}=\frac{\text{CI}}{\text{CN}}=\frac{\text{IH}}{\text{NB}}$.

Vì NA = NB nên IE = IH. Do đó I là trung điểm của HE.

Theo giả thiết thì I là trung điểm của NT.

Tứ giác NETH có hai đường chéo NT và EH có chung trung điểm I nên NETH là hình bình hành.