(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm $A C \Rightarrow D H // A B$ và $D H = \frac{1}{2} A B$ (vì DH là đường trung bình $Δ A B C$ ).

Lại có $G M // A B$ (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow G M // D H$ . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét $Δ A D H$ có $\Rightarrow G M // D H$

$\Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{G M}{D H} = \frac{2}{3} .$

Xét $Δ A B I$ có $G M // A B \Rightarrow \frac{G I}{A I} = \frac{G M}{A B} = \frac{G H}{B H} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{G I + A I}{A I} = \frac{A + 3}{3} \Rightarrow A I = \frac{3}{4} . A G = \frac{3}{4} . \frac{2}{3} . A D \Rightarrow A I = \frac{A D}{2}$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AD.

$Δ A B D$ có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó $B M ⊥ A D$ .

Cách 2.

$Δ A D H$ có $G M // D H \Rightarrow \frac{A M}{A H} = \frac{A G}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3. A M = 2. A H = A C = A M + M C$

hay $M C = 2. A M$ .

Áp dụng tính chất đường phân giác trong $Δ A B C$ , ta có:

$\frac{B C}{A B} = \frac{M C}{M A} = 2 \Rightarrow A B = \frac{B C}{2} = B D .$

Vậy $Δ A B D$ cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao.

Do đó $B M ⊥ A D$

Câu 2/5

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$ sao cho $D, E$ nằm cùng phía đối với điểm I. Chứng minh rằng: $\frac{B C}{I D} + \frac{A C}{I E} = \frac{A B}{I F} .$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

$\frac{B D}{I D} = \frac{B F}{I F}; \frac{C E}{I E} = \frac{C D}{I D}; \frac{A F}{I F} = \frac{A E}{I E}$

Ta có: $\frac{B C}{I D} = \frac{B D}{I D} - \frac{C D}{I D} = \frac{B F}{I F} - \frac{C E}{I E}$ (1)

Ta có: $\frac{A C}{I E} = \frac{A E}{I E} + \frac{C E}{I E} = \frac{A F}{I F} + \frac{C E}{I E}$ (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:

$\frac{B C}{I D} + \frac{A C}{I E} = \frac{B F}{I F} + \frac{A F}{I F} = \frac{A B}{I F} .$

Câu 3/5

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

$\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$

$\Rightarrow \frac{BC}{BG} = \frac{AH + HC}{HD}$ $= 1 + \frac{HC}{HD}$

$\Rightarrow \frac{BC}{BG} - 1 = \frac{HC}{HD} \Rightarrow \frac{BC - BG}{BG} = \frac{HC}{HD} \Rightarrow \frac{GC}{GB} = \frac{HC}{HD}$

Ta chứng minh: $\frac{HC}{HD} = \frac{GC}{GB}$ . Ta có: DE // AH $\Rightarrow$ $\frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE}$ .

Dựng đường thẳng qua E vuông góc AH tại I, suy ra HIED là hình chữ nhật.

IE = HD = HA; $\hat{IAE} = \hat{HBA}$ do đó hai tam giác vuông IEA và HBA bằng nhau.

$\Rightarrow AE = AB$ $\Rightarrow \frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{AB}$ .

Vì M là trung điểm BE, tam giác ABE cân tại A nên AM là tia phân giác góc $\hat{BAC}$ hay G là chân đường phân giác trong góc ABC trong tam giác ABC. Từ đó ta có:

$\frac{GC}{GB} = \frac{AC}{AB}$ . Vậy $\Rightarrow \frac{HC}{HD} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{AB} = \frac{GC}{GB}$ .

Câu 4/5

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm.Vẽ AK là tia phân giác của góc $\hat{BAC}$ (K thuộc BC). Tính AK?

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Theo tính chất chân đường phân giác trong ta có:

$\frac{KC}{KB} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{CK}{CB} = \frac{4}{7}$ .
Gọi K’ là hình chiếu vuông góc của K lên AC, suy ra KK’ // AB. Theo định lí Talet ta có:

$\frac{KK'}{AB} = \frac{CK}{CB} = \frac{4}{7} \Rightarrow KK' = \frac{4}{7} .AB = \frac{4}{7} .6 = \frac{24}{7} (cm)$ .

Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân tại K’ nên:

$AK = KK ’ . \sqrt{2} = \frac{24}{7} \sqrt{2} (cm)$ .

Câu 5/5

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên AC và T là điểm đối xứng của N qua I với I là giao điểm của CN và HE. Chứng minh tứ giác NETH là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta chứng minh I là trung điểm của HE.

Vì HE $⊥$ AC nên HE // BA. Theo định lí Talet ta có: $\frac{IE}{NA} = \frac{CI}{CN} = \frac{IH}{NB}$ .

Vì NA = NB nên IE = IH. Do đó I là trung điểm của HE.

Theo giả thiết thì I là trung điểm của NT.

Tứ giác NETH có hai đường chéo NT và EH có chung trung điểm I nên NETH là hình bình hành.

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng $G M ⊥ A C$ . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}$ .

Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC), N là trung điểm của AB. Biết AB=6cm, AC=8cm.Vẽ AK là tia phân giác của góc $\hat{BAC}$ (K thuộc BC). Tính AK?