Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol $\left(P\right):y=-x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=3mx-3$ (với m là tham số). Xác định các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2 tung độ của hai giao điểm đó bằng -10 

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:  $x^2-x-(m-1)=0(*)$

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\iff \Delta =4m-3>0\iff m>\frac{3}{4}$

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-(m-1)\end{array}\right.$

Theo đề bài:  $4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff 4\left(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff \frac{4}{-m+1}+m+2=0$

 $\iff m^2+m-6=0$( Điều kiện:$m\ne 1$ )

$\iff m=-3$ (loại) hoặc $m=2$ (thỏa mãn).
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Ta có:$\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\iff x_1{x}_2+\left(x_1+x_1\right)=0$ (**)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=-m^2+1\end{array}\right.$

 $(**)\iff -m^2+1+3=0\iff m^2=4\iff m=\pm 2$

Vậy $m=\pm 2$ .