Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\left(d\right):y=3x+m-1$ và parabol  $\left(P\right):y=x^2$. Gọi $x_1,x_2$  là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để  $\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1$

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:  $x^2-x-(m-1)=0(*)$

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\iff \Delta =4m-3>0\iff m>\frac{3}{4}$

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1{x}_2=-(m-1)\end{array}\right.$

Theo đề bài:  $4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff 4\left(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\right)-x_1{x}_2+3=0$$\iff \frac{4}{-m+1}+m+2=0$

 $\iff m^2+m-6=0$( Điều kiện:$m\ne 1$ )

$\iff m=-3$ (loại) hoặc $m=2$ (thỏa mãn).
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm $x^2=(2m-1)x-m+2\iff x^2-(2m-1)x+m-2=0(*)$

Ta có  $\Delta ={(2m-1)}^2-4.1\cdot (m-2)=4m^2-8m+9=4{(m-1)}^2+5\ge 5>0$

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.