Dạng 2. Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai.

37 người thi tuần này 4.6 3.7 K lượt thi 33 câu hỏi 45 phút

Câu 1/33

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Vẽ đồ thị của (P)

Xem đáp án

Lời giải

HS tự vẽ.

Câu 2/33

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Gọi $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ lần lượt là các giao điểm của (P) với (d). Tính giá trị biểu thức $T = \frac{x_{1} + x_{2}}{y_{1} + y_{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): $\frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A (2; 2) \\ x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{9}{8} \Rightarrow B (\frac{- 3}{2}; \frac{9}{8}) \end{array}$ . Vậy $T = \frac{x_{1} + x_{2}}{y_{1} + y_{2}} = \frac{2 + (\frac{- 3}{2})}{2 + \frac{9}{8}} = \frac{4}{25}$

Câu 3/33

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $d : y = (2 m - 1) x - m + 2$ (m là tham số)
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = (2 m - 1) x - m + 2 \Leftrightarrow x^{2} - (2 m - 1) x + m - 2 = 0 (*)$

Ta có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1 \cdot (m - 2) = 4 m^{2} - 8 m + 9 = 4 {(m - 1)}^{2} + 5 \geq 5 > 0$

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

Câu 4/33

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $d : y = (2 m - 1) x - m + 2$ (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}); B (x_{2}; y_{2})$ thỏa $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 1 \\ x_{1} x_{2} = m - 2 \end{cases}$ .

Mặt khác $\{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases}$ .

Ta có $x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 0 \Leftrightarrow (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 m - 1 = 0 \\ {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \\ 4 m^{2} - 7 m + 7 = 0 (v n) \end{array}$

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .

Câu 5/33

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 2 a x - 4 a$ (với a là tham số )

Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi $a = - \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ (d) và (P) là $x^{2} + 2 a x + 4 a = 0$

Khi $a = - \frac{1}{2}$ thì phương trình trở thành $x^{2} - x - 2 = 0$

Có $a - b + c = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm là $x = - 1$ ; $x = 2$ .

Câu 6/33

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 2 a x - 4 a$ (với a là tham số )

Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}| + |x_{2}| = 3$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ (d) và (P) là $x^{2} + 2 a x + 4 a = 0$ (*)

để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ' = a (a - 4) > 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} a < 0 \\ a > 4 \end{array}$

Với $[\begin{array}{l} a < 0 \\ a > 4 \end{array}$ theo Viét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 a \\ x_{1} x_{2} = 4 a \end{cases}$

Vì $|x_{1}| + |x_{2}| = 3 \Leftrightarrow {(|x_{1}| + |x_{2}|)}^{2} = 9 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 |x_{1} x_{2}| = 9 \Rightarrow 4 a^{2} - 8 a + | 8 a | = 9$

Với $a < 0$ : $4 a^{2} - 8 a + | 8 a | = 9 \Leftrightarrow 4 a^{2} - 16 a - 9 = 0 \Rightarrow a = \frac{- 1}{2}$

Với $a > 4$ : $4 a^{2} - 8 a + | 8 a | = 9 \Leftrightarrow 4 a^{2} = 9 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = \frac{3}{2} \notin d k \\ a = \frac{- 3}{2} \notin d k \end{array}$

Vậy $a = - \frac{1}{2}$ .

Câu 7/33

Cho hai hàm số $y = x^{2}$ và $y = m x + 4$ , với m là tham số.

Khi m=3, tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $y = x^{2}$ và $y = m x + 4$ là $x^{2} - m x - 4 = 0$ (1)

Thay $m = 3$ vào phương trình (1) ta có: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Ta có: $a - b + c = 1 - (- 3) + (- 4) = 0$

Vậy phương trình $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ có hai nghiệm $[\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 4 \end{array}$

Với $x = - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A (- 1; 1)$

Với $x = 4 \Rightarrow y = 16 \Rightarrow B (4; 16)$

Vậy với $m = 3$ thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm $A (- 1; 1)$ và $B (4; 16)$ .

Câu 8/33

Cho hai hàm số $y = x^{2}$ và $y = m x + 4$ , với m là tham số.
Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2})$ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ${(y_{1})}^{2} + {(y_{2})}^{2} = 7^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: $Δ = m^{2} - 4 \cdot (- 4) = m^{2} + 16 > 0 \forall m \in ℝ$

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2})$ với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 4 \end{cases}$

Ta lại có: $\{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases}$

Theo đề, ta có: $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 7^{2}$

$\Rightarrow {(x_{1}^{2})}^{2} + {(x_{2}^{2})}^{2} = 49 \Leftrightarrow {[{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}]}^{2} - 2 {(x_{1} x_{2})}^{2} = 49 \Leftrightarrow {[m^{2} - 2. (- 4)]}^{2} - 2 {(- 4)}^{2} = 49$

$\Leftrightarrow {(m^{2} + 8)}^{2} = 81 \Leftrightarrow m^{2} + 8 = 9 \Leftrightarrow m = \pm 1$

(trường hợp $m^{2} + 8 = - 9$ vô nghiệm vì $m^{2} \geq 0$ )

Vậy với $m = 1; m = - 1$ thì ${(y_{1})}^{2} + {(y_{2})}^{2} = 7^{2}$ .

Câu 9/33