Cho hai hàm số $y = x^{2}$ và $y = m x + 4$ , với m là tham số.
Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2})$ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ${(y_{1})}^{2} + {(y_{2})}^{2} = 7^{2}$ .

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 6: Hàm số bậc hai và các bài toán tương giao với đồ thị hàm số bậc nhất có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: $Δ = m^{2} - 4 \cdot (- 4) = m^{2} + 16 > 0 \forall m \in ℝ$

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2})$ với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 4 \end{cases}$

Ta lại có: $\{\begin{cases} y_{1} = x_{1}^{2} \\ y_{2} = x_{2}^{2} \end{cases}$

Theo đề, ta có: $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 7^{2}$

$\Rightarrow {(x_{1}^{2})}^{2} + {(x_{2}^{2})}^{2} = 49 \Leftrightarrow {[{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}]}^{2} - 2 {(x_{1} x_{2})}^{2} = 49 \Leftrightarrow {[m^{2} - 2. (- 4)]}^{2} - 2 {(- 4)}^{2} = 49$

$\Leftrightarrow {(m^{2} + 8)}^{2} = 81 \Leftrightarrow m^{2} + 8 = 9 \Leftrightarrow m = \pm 1$

(trường hợp $m^{2} + 8 = - 9$ vô nghiệm vì $m^{2} \geq 0$ )

Vậy với $m = 1; m = - 1$ thì ${(y_{1})}^{2} + {(y_{2})}^{2} = 7^{2}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = x + m - 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$ . Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}$ $x_{2}$ thỏa mãn: $4 (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) - x_{1} x_{2} + 3 = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: $x^{2} - x - (m - 1) = 0 (*)$

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ = 4 m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}$

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} x_{2} = - (m - 1) \end{cases}$

Theo đề bài: $4 (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) - x_{1} x_{2} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow 4 (\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}}) - x_{1} x_{2} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \frac{4}{- m + 1} + m + 2 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 6 = 0$ ( Điều kiện: $m \neq 1$ )

$\Leftrightarrow m = - 3$ (loại) hoặc $m = 2$ (thỏa mãn).
Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Câu 2

Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $d : y = (2 m - 1) x - m + 2$ (m là tham số)
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = (2 m - 1) x - m + 2 \Leftrightarrow x^{2} - (2 m - 1) x + m - 2 = 0 (*)$

Ta có $Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4.1 \cdot (m - 2) = 4 m^{2} - 8 m + 9 = 4 {(m - 1)}^{2} + 5 \geq 5 > 0$

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

Câu 3