Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA=2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm).

1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R

Gọi I là giao điểm của HF và CE.

$\Rightarrow$H, I, F thẳng hàng (*)  (t/c hình chữ nhật).

Cần chứng minh: M,I , F thẳng hàng.

$MA=ME=\frac{1}{2}A\text{E }$(gt) và $OA=OC=\frac{1}{2}AC$  (t/c hình chữ nhật).

 $\Rightarrow OM$là đường trung bình của $\Delta ACE$ .

$\Rightarrow OM\text{//}CE\Rightarrow \widehat{O\text{}DC}=\widehat{IC\text{}F}$( 2 góc đồng vị).

Mà $\widehat{ODC}=\widehat{OC\text{}D}$  và $\widehat{ICF}=\widehat{I\text{}FC}$ (vì $\Delta OCD$ cân tại O,$\Delta ICF$ cân tại I  , t/c hình chữ nhật).

$\Rightarrow \widehat{OC\text{}D}=\widehat{IFC}\Rightarrow I\text{}F\text{//}AC$ mà $IM\text{//}AC$  (do IM là đường trung bình $\Delta ACE$ ).

$\Rightarrow$M, I,  Fthẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Kết hợp (*)với ta có: M, H, F thẳng hàng.

2) Ta có DBOC cân tại O (OB = OC = R)

     Mà OH là đường cao ( BC ^ OA tại H)

     Þ OH là đường phân giác của DBOC

     Þ  $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$

    Chứng minh DAOC = DAOB (c-g-c)

   Þ  $\widehat{ACO}=\widehat{ABO}$

Mà $\widehat{ABO}={90}^0$  (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

   Þ $\widehat{ACO}={90}^0$

Þ    AC ^ OC

Þ     Mà C thuộc (O)

   Þ AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)