Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho có đáp án

Gọi I là giao điểm của HF và CE.

$\Rightarrow$H, I, F thẳng hàng (*)  (t/c hình chữ nhật).

Cần chứng minh: M,I , F thẳng hàng.

$MA=ME=\frac{1}{2}A\text{E }$(gt) và $OA=OC=\frac{1}{2}AC$  (t/c hình chữ nhật).

 $\Rightarrow OM$là đường trung bình của $\Delta ACE$ .

$\Rightarrow OM\text{//}CE\Rightarrow \widehat{O\text{}DC}=\widehat{IC\text{}F}$( 2 góc đồng vị).

Mà $\widehat{ODC}=\widehat{OC\text{}D}$  và $\widehat{ICF}=\widehat{I\text{}FC}$ (vì $\Delta OCD$ cân tại O,$\Delta ICF$ cân tại I  , t/c hình chữ nhật).

$\Rightarrow \widehat{OC\text{}D}=\widehat{IFC}\Rightarrow I\text{}F\text{//}AC$ mà $IM\text{//}AC$  (do IM là đường trung bình $\Delta ACE$ ).

$\Rightarrow$M, I,  Fthẳng hàng (tiên đề Ơclít).

Kết hợp (*)với ta có: M, H, F thẳng hàng.

1)

Ta có: $\widehat{ABO}={90}^0$  (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

     Þ DABO vuông tại B

     Þ $A{B}^2+O{B}^2=O{A}^2$  (Đ/L Pytago)

     Þ  $A{B}^2=O{A}^2-O{B}^2={\left(2R\right)}^2-R^2=4R^2-R^2=3R^2$ Þ   $AB=R\sqrt{3}$   

2) Ta có DBOC cân tại O (OB = OC = R)

     Mà OH là đường cao ( BC ^ OA tại H)

     Þ OH là đường phân giác của DBOC

     Þ  $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$

    Chứng minh DAOC = DAOB (c-g-c)

   Þ  $\widehat{ACO}=\widehat{ABO}$

Mà $\widehat{ABO}={90}^0$  (AB là tiếp tuyến của(O) tại B)

   Þ $\widehat{ACO}={90}^0$

Þ    AC ^ OC

Þ     Mà C thuộc (O)

   Þ AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)  

3) Chứng minh DABC cân tại A ( 1)

Xét DABO vuông tại 0, có

$Sin\widehat{ABO}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

            Þ $\widehat{BAO}={30}^0$

     Ta có: AO là tia phân giác của góc BAC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 Þ  $\widehat{BAC}=2\widehat{BAO}={2.30}^0={60}^0$   (2)

           Từ (1) và (2) suy ra DABC đều

4)    Gọi I là giao điểm của AF và HD

Áp dụng hệ quả Talet để I là trung điểm HD

Gọi K là trung điểm BD

   Chứng minh KI là đường trung bình của DBHD

Þ KI // HB

Mà HB ^ OA tại H (gt)

Þ KI ^ AH

   Chứng minh I là trực tâm của DAHK

Þ    AI là đường cao của DAHK

Þ    AF ^ HK (3)

Chứng minh HK là đường trung bình của DBDC

Þ     HK // CD (4)

Từ (3) và (4)

    Þ AF ^ CD

   Ta có: DAEC nội tiếp đường tròn đường kính AC

    Þ DAEC vuông tại E

    Þ AE ^ CD

   Mà AF ^ CD

Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng