Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác có đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

d) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là điểm, B không trùng với A).

a) Chứng minh rằng tứ giác AOBD nội tiếp.

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH vuông góc với OC (H thuộc OC). Gọi I là giao điểm của AB và OD. Chứng minh rằng OH.OC = OI. OD

c) Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh rằng CM là tiếp tuyến của (O)

d) Gọi E là giao điểm của DH và CI. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính OD và đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A).

a) Chứng minh AD. AE = AC.AB

b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao BD và  CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính À của đường tròn (O).

a)    Chứng minh $BH//FC$

Chứng minh rằng $S_{AHG}=2S_{AGO}$ .

Cho tam giác $ABC$  có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R)  . Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D (khác ). Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn (O) tại điểm E (khác D).

a, Chứng minh rằng A,O,E là thẳng hàng.

c)    Tính $A{B}^2+B{D}^2+C{D}^2+A{C}^2$  theo R.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD

a) Chứng minh rằng B,C,D thẳng hàng

b, Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn nhất.