Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác có đáp án

29 người thi tuần này 4.6 5.7 K lượt thi 20 câu hỏi 50 phút

Câu 1/20

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.
1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. (ảnh 1)

$\hat{B A C} = \hat{B D C} = 90^{o}$ (gt) nên tứ giác BADC nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của BC.

Câu 2/20

b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Lời giải

b) $\hat{A D B} = \hat{B D N} (= \hat{A C B})$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong các đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB là phân giác góc AND.

Câu 3/20

c) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC.

Lời giải

c) OM ⊥ AC (OM là đường trung bình tamgiác ABC) nên suy ra MO là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.

Câu 4/20

d) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Lời giải

d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường tròn đường kính MC)

PM ⊥ BC (M là trực tâm tam giác PBC)
Suy ra P, M, N thẳng hàng.

Câu 5/20

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là điểm, B không trùng với A).

a) Chứng minh rằng tứ giác AOBD nội tiếp.

Lời giải

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), (ảnh 1)

DA và DB là các tiếp tuyến của (O) nên $\hat{O B D} = \hat{O A D} = 90^{o}$

Xét tứ giác AOBD có $\hat{O B D} + \hat{O A D} = 180^{o}$ , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AOBD nội tiếp

Câu 6/20

b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH vuông góc với OC (H thuộc OC). Gọi I là giao điểm của AB và OD. Chứng minh rằng OH.OC = OI. OD

Lời giải

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có DA = DB và DO là tia phân giác của ABD

Do đó tam giác ABD cân tại D có DO là đường phân giác nên đồng thời là đường trung trực....

Xét ∆OIC và ∆OHD có $\hat{O I C} = \hat{O H D} = 90^{o}$ ; $\hat{D O C}$ chung nên

$Δ O I C Δ O H D$ (g.g)

$\frac{O I}{O H} = \frac{O C}{O D} \Rightarrow O H . O C = O I . O D (1)$

Câu 7/20

c) Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh rằng CM là tiếp tuyến của (O)

Lời giải

c) Xét tam giác AOD vuông tại A có AI là đường cao nên $O A^{2} = O H . O D$ (2)

Mà OM = OA (là bán kính (O) ). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OM² = OH. OC $\Rightarrow \frac{O M}{O H} = \frac{O C}{O M}$

Xét ∆OHM và ∆OMC có chung $\hat{M O C}$ ; $\frac{O M}{O H} = \frac{O C}{O M}$ nên $Δ O H M ~ Δ O M C$ (c.g.c).

=> $\hat{O M C} = \hat{O I C} = 90^{o}$ nên CM là tiếp tuyến của (O).

Câu 8/20

d) Gọi E là giao điểm của DH và CI. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính OD và đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng.

Lời giải

d) Do $\hat{O M C} = \hat{O I C} = 90^{o}$ nên tứ giác OIMC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM là đường tròn đường kính OC.

=> $\hat{O F C} = 90^{o}$

Mặt khác ta có $\hat{O F D} = 90^{o} .$ Như vậy OFC;OFD kề bù suy ra ba điểm C, F, D thẳng hàng.

Xét tam giác OCD có ba đường cao CH, DI, OF mà có E là giao điểm CH, DI nên ba điểm O, E, F thẳng hàng.

Câu 9/20