Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z . Chứng minh rằng :$\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{a}{x}$

Đặt CM = m , CN = n , MN = x

m + n + x = 2CD = 2a và m² +n² = x²

Do đó : x²= m² +n² ≥

$\Rightarrow$2x² ≥ ( 2a - x)² Þ  ≥ 2a - x

 $\Rightarrow$  x ≥  

 $\Rightarrow$  min MN =2a  Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của

   $\Rightarrow$AN là phân giác của

Gọi x là bán kính đường tròn (O₁) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O₂ ) (h.44)

Xét DOO₁O₂ ta có :      O₁O₂ £ O O₁ +OO₂

Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x)    Þ 6x £ 2R Þ   x £$\frac{R}{3}$

Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O₁)và (O₂ ) , ta có :

S =$\pi R^2-\pi x^2-\pi 4x^2=\pi \left(R^2-5x^2\right)$

Do x £ $\frac{R}{3}$  nên x² £ $\frac{R^2}{9}$ Þ S ≥ $\frac{4\pi R^2}{9}$ ;  

min S =$\frac{4\pi R^2}{9}$Û x =$\frac{R}{3}$

Khi đó O₁,O,O₂ thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O₁) và (O₂ )    là  $\frac{R}{3}$ và  $\frac{2R}{3}$ (h.45).