Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.

Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.

Kẻ OH ^ PQ . Đặt  =a thì = a

PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina

Do a không dổi nên

PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.

Gọi x là bán kính đường tròn (O₁) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O₂ ) (h.44)

Xét DOO₁O₂ ta có :      O₁O₂ £ O O₁ +OO₂

Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x)    Þ 6x £ 2R Þ   x £$\frac{R}{3}$

Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O₁)và (O₂ ) , ta có :

S =$\pi R^2-\pi x^2-\pi 4x^2=\pi \left(R^2-5x^2\right)$

Do x £ $\frac{R}{3}$  nên x² £ $\frac{R^2}{9}$ Þ S ≥ $\frac{4\pi R^2}{9}$ ;  

min S =$\frac{4\pi R^2}{9}$Û x =$\frac{R}{3}$

Khi đó O₁,O,O₂ thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O₁) và (O₂ )    là  $\frac{R}{3}$ và  $\frac{2R}{3}$ (h.45).