Cho tm giác ABC vuông tại C có CH là đường cao. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = BC. Kẻ MN vuông góc với AC tại N. Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DBCM có BM = BC nên DBCM cân tại B.

Suy ra \(\widehat {BCM} = \widehat {BMC}\).

Lại có \[\widehat {BCM} + \widehat {MCN} = 90^\circ \] và \(\widehat {BMC} + \widehat {MCH} = 90^\circ \)

Suy ra \[\widehat {MCN} = \widehat {MCH}\].

Xét DCMN và DCMH có:

\(\widehat {CNM} = \widehat {CHM} = 90^\circ \),

CM là cạnh chung,

\[\widehat {MCN} = \widehat {MCH}\] (chứng minh trên).

Do đó DCMN = DCMH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CN = CH (hai cạnh tương ứng).

Ta có: AB + CH = AM + MB + CH.

Mà BM = BC (giả thiết) và CH = CN (chứng minh trên),

Do đó AB + CH = AM + BC + CN.

Mặt khác MN ⊥ AC tại N nên ∆ANM vuông tại N.

Do đó cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất hay AM > AN.

Suy ra AB + CH = AM + BC + CN > AN + BC + CN

Hay AB + CH > AN + CN + BC = AC + BC.

Vậy AC + BC < AB + CH.

Ta chọn phương án C.