Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Kẻ AD và CE vuông góc với BM. Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do AD và CE vuông góc với BM nên \(\widehat {{\rm{ADM}}} = 90^\circ \) và \(\widehat {{\rm{CEM}}} = 90^\circ \).

Xét DADM và DCEM có:

\(\widehat {ADM} = \widehat {CEM}\left( { = 90^\circ } \right),\)

AM = CM (vì M là trung điểm của AC),

\(\widehat {{\rm{AMD}}} = \widehat {{\rm{CME}}}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó DM = EM (hai cạnh tương ứng).

Ta có BD + BE = BD + (BM + ME) = (BD + ME) + BM

Mà DM = ME (chứng minh trên)

Nên BD + BE = (BD + DM) + BM = BM + BM = 2BM (1)

Vì BA, BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ B đến AC nên BM > AB.

Hay 2BM > 2AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD + BE = 2BM > 2AB.

Do đó BD + BE > 2AB

Vậy ta chọn phương án A.