Cho ∆ABC đều. lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF.

Nhận định nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ∆ABC cân tại A (giả thiết) suy ra AB = AC; $\widehat{B}=\widehat{C}$ (tính chất)

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

$\widehat{B}=\widehat{C}$

AB = AC

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (vì AM là tia phân giác góc BAC)

Suy ra ∆AMB = ∆AMC (g.c.g)

Do đó: BM = MC (hai cạnh tương ứng) suy ra M là trung điểm của BC

Xét hai tam giác vuông AMH và AMK có:

AM là cạnh chung

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Suy ra ∆AMH = ∆AMK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó: AH = AK (hai cạnh tương ứng) suy ra ∆AHK cân tại A

⇒ $\widehat{AHK}=\widehat{AKH}$ (tính chất)

Mà $\widehat{AHK}+\widehat{AKH}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AHK}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Có $\widehat{B}=\widehat{C}$ mà $\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AHK}=\widehat{B}$ mà hai góc đồng vị nên HK // BC.

Vì ∆AMH = ∆AMK (chứng minh trên)

$\widehat{HMA}=\widehat{KMA}$ (hai góc tương ứng) suy ra MA là tia phân giác của góc HMK.

Vậy MA là tia phân giác của góc HMC là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ∆ABC cân tại A (giả thiết) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

BD là tia phân giác góc B nên $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

CE là tia phân giác góc C nên $\widehat{DCE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Do đó $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=\widehat{DCE}=\widehat{ECB}$

Xét ∆BEC và ∆CDB có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

BC là cạnh chung

$\widehat{ECB}=\widehat{DBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆BEC = ∆CDB (g.c.g)

Do đó BE = CD (hai cạnh tương ứng)

Mà BE + EA = AB; CD + DA = AC

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Suy ra EA = DA ⇒ ∆AED cân tại A ⇒ $\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ (tính chất)

Mà $\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AED}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABC}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$ mà hai góc đồng vị nên ED // BC.

Suy ra $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}$ (chứng ninh trên)

Suy ra $\widehat{EDB}=\widehat{EBD}$

Do đó tam giác EBD cân tại E (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra EB = ED

Vậy BE = CD = ED.