Câu hỏi:
06/11/2022 9,712
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết rằng điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a.b bằng:
Đáp án chính xác
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).
Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.
Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)
Do đó a + 1 = b + 2
Vì vậy a = b + 1.
Khi đó tọa độ E(b + 1; b).
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).
Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).
Suy ra,
\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).
Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).
Ta có (4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Suy ra 2(4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Khi đó 2(4b – 1)2 + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.
Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).
Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).
Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).
Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).
Do đó ta chọn phương án C.
Nhà sách VIETJACK:
Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025
Đã bán 100
₫ 40.500
₫ 13.600
Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025
Đã bán 321
₫ 136.000
₫ 40.000
Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack
Đã bán 218
₫ 130.000
₫ 75.000
Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack
Đã bán 1k
₫ 104.000
₫ 52.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm \(G\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ đỉnh A là:
Xem đáp án »
06/11/2022
10,297
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho SABC = 4SABM. Khi đó x2 – y2 bằng:
Xem đáp án »
06/11/2022
9,416
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3), B(–1; –9), C(5; –1). Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \) là:
Xem đáp án »
06/11/2022
5,120
Câu 4:
Cho hai lực F1, F2. Biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng cường độ lực là 100 N, góc hợp bởi \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là 120°. Khi đó cường độ lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng:
Xem đáp án »
06/11/2022
2,216
🔥 Đề thi HOT:
-
12 Bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai để giải bài toán thực tế (có lời giải)
-
13 câu Trắc nghiệm Tích của vectơ với một số có đáp án (Thông hiểu)
-
10 Bài tập Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế (có lời giải)
-
185 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1:Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy có đáp án (Mới nhất)
-
10 Bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Quy tắc đếm có đáp án
-
10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)
-
10 Bài tập Các bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận